排列计数
题目描述
求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 $10^9+7$ 取模。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个数 T，表示有 T 组数据。
接下来 T 行，每行两个整数 n、m。
输出格式：
输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数
输入输出样例
说明
测试点 1 ~ 3： $T=1000，n leq 8，m leq 8$；
测试点 4 ~ 6： $T=1000，n leq 12，m leq 12$；
测试点 7 ~ 9： $T=1000，n leq 100，m leq 100$；
测试点 10 ~ 12：$T=1000，n leq 1000，m leq 1000$；
测试点 13 ~ 14：$T=500000，n leq 1000，m leq 1000$；
测试点 15 ~ 20：$T=500000，n leq 1000000，m leq 1000000$
分析：
一道组合数、错排公式的模板。
很显然可以推出公式是$D_{n-m} imes C^m_n$，那么我们只要预处理即可。
错排公式的递推式：$D_n=(n-1) imes (D_{n-1}+D_{n-2})$，组合数的阶乘公式：$C^m_n=frac{n!}{m! imes (n-m)!}$。
只要预处理$D$数组和数据范围内所有数的阶乘$jc[i]$以及$jc[i]$的逆元$ny[i]$即可。这里求逆元可以直接费马小定理，因为模数是质数。
Code：
//It is made by HolseLee on 14th Sep 2018 //Luogu.org P4071 #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e6+7; const ll mod=1e9+7; int T,n,m; ll jc[N],ny[N],d[N]; template<typename re> inline void read(re &x) { x=0; char ch=getchar(); bool flag=false; while( ch<'0' || ch>'9' ) { if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar(); } while( ch>='0' && ch<='9' ) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); } flag ? x=-x : 1 ; } inline ll power(ll x,ll y) { ll ret=1; while( y ) { if( y&1 ) ret=(ret*x)%mod; y>>=1, x=(x*x)%mod; } return ret; } void ready() { d[1]=0, d[2]=1, jc[1]=1, ny[1]=1; for(int i=3; i<N; ++i) d[i]=((i-1)*(d[i-1]+d[i-2])+mod)%mod; for(int i=2; i<N; ++i) { jc[i]=((jc[i-1]*i)+mod)%mod; ny[i]=power(jc[i],mod-2); } } int main() { read(T); ready(); while( T-- ) { read(n), read(m); if( m==n ) puts("1"); else if( m>n ) puts("0"); else if( m==0 ) printf("%lld ",d[n]); else { printf("%lld ",((d[n-m]*(ny[m]*ny[n-m]%mod))%mod*jc[n])%mod); } } return 0; }