「NOI2020」制作菜品（bitset+背包DP）

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LOJ3342

Solution

今天上计程设，真的讲了 Hello world 和 a+b。

至于我为什么要上这个课，因为它在化学专业的培养方案里面。

言归正传。

不会做这题的建议先看看下发文件中的 dish2.in 和 dish2.ans。

打开这个样例，发现只有一个 \(m=n-1\) 的，而 \(m=n-1\) 正好有部分分。

dish2.ans 给出的做法是：每次找 \(\max\) 和 \(\min\)，把 \(\min\) 全拿走，\(\max\) 拿走 \(k-\min\)。

对着这题想了好久，一点思路都没有，看到一个 \(m=n-1\) 的构造方案，还不赶紧写下来，说不定能骗到分。

发现这个样例里面还有一个 \(m=n\) 的，而 \(m\ge n\) 也有部分分。

dish2.ans 里面有唯一一行输出两个整数的，看看它拿走的是哪个 \(d_i\)，显然是 \(\max\)。

如果一开始就把 \(\max\) 减去 \(k\)，那就相当于 \(m\) 减 \(1\)，\(n\) 不变，就转化成了 \(m=n-1\) 的情况。

那 \(m\ge n\) 是不是都可以用这个做法转化为 \(m=n-1\)？

\(m\ge n\) 的部分分让你更加坚定地相信这个做法的正确性。

要想证明它正确，最好要证明 \(m=n-1\) 必定有解。回顾 \(m=n-1\) 的做法：\(\min\) 拿掉，\(\max\) 拿 \(k-\min\)。

什么时候做不下去了？\(\max+\min<k\)。会有这种可能出现吗？

假设 \(\max+\min<k\)，由于总和是 \((n-1)k\)，那剩下的 \(n-2\) 个加起来必须大于 \((n-2)k\)，那么这 \(n-2\) 个里面肯定有 \(d_i>k\) 的，跟 \(\max<k\) 矛盾。

那 \(m\ge n-1\) 都做完了。观察数据范围，就剩 \(m=n-2\) 了。

还是考虑沿用 \(m=n-1\) 的做法，把这 \(n\) 个分成两组，每组都是 \(m=n-1\)。说形象点就是，一棵树断掉一条边，变成边数之和为 \(n-2\) 的两棵树。

什么样的分组是合法的？设分出来的其中一组 \(d_i\) 之和为 \(s\)，个数为 \(c\)，则 \(s=(c-1)k\)。也就是 \(\sum k-d_i=k\)。

设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个中选若干个，是否能让 \(k-d\) 之和为 \(j\)，用 bitset 可以算。

如果 \(f_{n,k}=1\)，那么有合法方案，否则没有。

构造方案（\(bo=1\) 的全部放到一组，剩下的放到另一组）：

    int sum = L + k; // DP数组下标可能是负数，所以整体移位
	if (!f[x][sum])
	{
		puts("-1");
		return;
	}
	memset(bo, 0, sizeof(bo));
	for (;;)
	{
		bo[x] = 1;
		int i, v = k - d[x];
		sum -= v;
		for (i = 0; i < x; i++) // 注意要找最小的i
		if (d[i] && f[i][sum])
		{
			x = i;
			break;
		}
		if (x == 0) break;
	}

然后就过了。

所以这题的考点就是打开 dish2.in 和 dish2.ans，没别的。

至于为什么找不到分组方案就无解，我也不知道怎么严谨证明。我只知道明天早八有机，今晚要早点睡，溜了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define pb push_back

template <class t>
inline void read(t & res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
		res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

const int e = 1e5 + 15, P = 5e6 + 15;

struct point
{
	int p1, d1, p2, d2;

	point(){}
	point(int _p1, int _d1, int _p2, int _d2) :
		p1(_p1), d1(_d1), p2(_p2), d2(_d2) {}
}a[e];
int d[e], T, n, m, k, tot, c[e];
bool bo[e];
bitset<3655555>f[505];
vector<int>g1, g2;

inline int plu(int x, int y)
{
	(x += y) >= k && (x -= k);
	return x;
}

inline int sub(int x, int y)
{
	(x -= y) < 0 && (x += k);
	return x;
}

inline void work1()
{
	int i, j;
	while (m--)
	{
		int p1 = -1, p2 = n + 1;
		for (i = 1; i <= n; i++)
		if (d[i])
		{
			if (d[i] > d[p1]) p1 = i;
			if (d[i] < d[p2]) p2 = i;
		}
		if (p1 == p2)
		{
			a[++tot] = point(p1, d[p1], 0, 0);
			d[p1] = 0;
		}
		else
		{
			if (d[p1] + d[p2] >= k) 
			{
				int x = d[p2];
				d[p2] -= x;
				d[p1] -= k - x; 
				a[++tot] = point(p2, x, p1, k - x);
			}
			else
			{
				puts("-1");
				return;
			}
		}
	}
	for (i = 1; i <= tot; i++)
	if (a[i].p2) printf("%d %d %d %d\n", a[i].p1, a[i].d1, a[i].p2, a[i].d2);
	else printf("%d %d\n", a[i].p1, a[i].d1);
}

inline void work2()
{
	int i, j, rn = n, rm = m;
	for (;;)
	{
		for (i = 1; i <= n; i++)
		if (d[i] == k)
		{
			d[i] = 0;
			rn--;
			rm--;
			a[++tot] = point(i, k, 0, 0);
			break;
		}
		int p = 0;
		for (i = 1; i <= n; i++)
		if (d[i] && d[i] > d[p]) p = i;
		if (p)
		{
			d[p] -= k;
			a[++tot] = point(p, k, 0, 0);
			rm--;
		}
		if (!rm || rm == rn - 1) break;
	}
	m = rm;
	work1();
}

inline void solve(vector<int>g)
{
	int i, len = g.size(), rm = len - 1;
	while (rm--)
	{
		int p1 = 0, p2 = n + 1;
		for (i = 0; i < len; i++)
		{
			int pos = g[i];
			if (d[pos])
			{
				if (d[pos] > d[p1]) p1 = pos;
				if (d[pos] <= d[p2]) p2 = pos;
			}
		}
		if (p1 == p2)
		{
			a[++tot] = point(p1, d[p1], 0, 0);
			d[p1] = 0;
		}
		else
		{
			int x = d[p2];
			d[p2] -= x;
			d[p1] -= k - x; 
			a[++tot] = point(p2, x, p1, k - x);
		}
	}
}

inline void work3()
{
	int i, j, x = 0, rn = n, rm = m;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	if (d[i] % k == 0)
	{
		while (d[i])
		{
			d[i] -= k;
			a[++tot] = point(i, k, 0, 0);
			rn--; rm--;
		}
	}
	g1.clear();
	g2.clear();
	int L = 0;
	for (i = 0; i <= n; i++) f[i].reset();
	for (i = 1; i <= n; i++)
	if (d[i])
	{
		int v = k - d[i];
		if (v < 0) L += v;
	}
	L = -L;
	f[0][L] = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	if (d[i])
	{
		int v = k - d[i];
		if (v >= 0) f[i] = f[x] | (f[x] << v);
		else f[i] = f[x] | (f[x] >> (-v));
		x = i;
	}
	int sum = L + k;
	if (!f[x][sum])
	{
		puts("-1");
		return;
	}
	memset(bo, 0, sizeof(bo));
	for (;;)
	{
		bo[x] = 1;
		int i, v = k - d[x];
		sum -= v;
		for (i = 0; i < x; i++)
		if (d[i] && f[i][sum])
		{
			x = i;
			break;
		}
		if (x == 0) break;
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
	if (d[i])
	{
		if (bo[i]) g1.pb(i);
		else g2.pb(i);
	}
	solve(g1);
	solve(g2);
	for (i = 1; i <= tot; i++)
	if (a[i].p2) printf("%d %d %d %d\n", a[i].p1, a[i].d1, a[i].p2, a[i].d2);
	else printf("%d %d\n", a[i].p1, a[i].d1);
}

int main()
{
	freopen("dish.in", "r", stdin);
	freopen("dish.out", "w", stdout);
	read(T);
	int i;
	while (T--)
	{
		tot = 0;
		read(n); read(m); read(k);
		d[0] = -1; d[n + 1] = 1e9;
		for (i = 1; i <= n; i++) read(d[i]);
		if (m == n - 1) work1();
		else if (m >= n) work2();
		else work3();
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}