算法优化策略

常用算法设计和优化策略

下面是紫书上讲的常用算法设计策略和优化策略：

• 分治法：将问题分成相同的独立子问题求解。在普通的分治之外，还有一种cdq分治（陈丹琦分治），思想是处理左边区间到右边区间的影响，归并算一个例子。

• 动态规划

  • 第一种用法 本质是：对于一个问题，通过定义状态来分解问题。利用状态之间的联系（转移方程）进行递推，最终解决问题。这种用法中，状态的值就构成了最终答案。
  • 第二种用法 本质是：一个问题的答案由许多子问题得到。我们剥离出影响这些子问题答案的元素，将它考虑在dp状态中。这样，一个dp状态就可以表示若干个子问题，考虑某个dp状态就相当于考虑若干个子问题。这种用法中，状态只是用来把类型相同的子问题归为一类。

  拆分出的状态必须满足最优子结构性质和无后效性（当前阶段以前的状态不会影响以后的状态，只与当前阶段有关）。动归的目的是避免重叠子问题。递推和递归（记忆化搜索）是实现动归的手段。

  只要满足：1.状态设计不重不漏 2.转移方程正确 3.能顺利统计答案，那么这个dp就是可写的。如果在码代码的时候， 初始状态的值设置对了，同时考虑了边界情况，那么这个dp代码就是正确的。

  决策单调性：第i个阶段，如果从j转移，那么i以后的阶段，都不会从j及以前的阶段转移。

  做题的时候可以考虑先写出原始的转移方程，再用各种方法优化，如将一些一环扣一环的转移压缩成一个转移/利用前缀和思想/利用单调队列或者优先队列/利用线段树……

• 贪心法：动态规划的一种，每个阶段的最优解是由上一个阶段的最优解得到的。贪心的情况下，局部最优解构成了全局最优解。在找出动态规划的方法以后可以尝试贪心解法。

• 收缩法：对于某些问题，可以用反证法证明答案只会收缩到某些边界处，判断边界情况即可。

• 构造法：最朴素的方法。包括模拟，暴力，暴搜……

• 等价转换：化繁为简，包括问题转换，问题分解等。例如最值反演。

• 假设法：对于有对称性的问题，利用对称性避免讨论。

• 使用数据结构：在不改变主算法的情况下加速算法。包括但不限于并查集，单调X，平衡树，线段树，lct……

• 数形结合：将代数的关系转化成几何的关系。

• 二分答案：将求某个最优值问题转化为判定性问题，也算在策略内。它的衍生算法还有整体二分，即把询问和答案一起二分。

• 扫描法：带有顺序的枚举法，通常维护一些重要的量从而简化计算。

• 枚举基准：寻找基于当前基准的最优值，再取所有基准的最值。某些看似状压的题可以用这种方法，在外层枚举基准状态，然后神奇解决……