1. 简单概述
回溯法思路的简单描述是:把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示,然后使用深度优先搜索策略进行遍历,遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。
基本思想类同于:
- 图的深度优先搜索
- 二叉树的后序遍历
【 分支限界法:广度优先搜索
思想类同于:图的广度优先遍历
二叉树的层序遍历
】
2. 详细描述
详细的描述则为:
回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树,当算法搜索至解空间树的某一节点时,先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。如果不可行,则跳过对该节点为根的子树的搜索,逐层向其祖先节点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。
回溯法的基本行为是搜索,搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类:1. 使用约束函数,在扩展结点处剪去不满足约束条件的子树;2.使用限界函数,剪去不能得到最优解的子树。这两种方法统称为剪枝函数。
问题的关键在于如何定义问题的解空间,转化成树(即解空间树)。解空间树分为两种:子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。
3. 回溯法应用(具体应用见后续博客)
当问题是要求满足某种性质(约束条件)的所有解或最优解时,往往使用回溯法。
它有“通用解题法”之美誉,可以系统的搜索问题的所有解。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法,适用于求解组合数较大的问题。
4. 回溯法解题步骤
(1)针对所给问题,确定问题的解空间:
首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
(2)确定结点的扩展搜索规则
(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
5. 回溯法实现 - 递归和递推(迭代)
回溯法的实现方法有两种:递归和递推(也称迭代)。一般来说,一个问题两种方法都可以实现,只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
【类比于图深度遍历的递归实现和非递归(递推)实现】
递归实现
思路简单,设计容易,但效率低,其设计范式如下:
//针对N叉树的递归回溯方法 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); //叶子节点,输出结果,x是可行解 else for i = 1 to k//当前节点的所有子节点 { x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x //满足约束条件和限界条件 if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); //递归下一层 } }
递推实现
算法设计相对复杂,但效率高。
//针对N叉树的迭代回溯方法 void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点 { for i = 1 to k //遍历当前节点的所有子节点 { x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件 { //solution表示在节点t处得到了一个解 if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解,输出 else t++;//没有得到解,继续向下搜索 } } } else //不存在子节点,返回上一层 { t--; } } }
6. 子集树和排列树
1. 子集树
所给的问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时,相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题,从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包,使得在满足背包不超重的情况下,背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。
回溯法搜索子集树的算法描述如下:
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } }
2. 排列树
所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题,一个售货员把几个城市旅行一遍,要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列,解空间就是排列树。
回溯法搜索排列树的算法范式如下:
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } }
参考资料:王晓东《算法设计与分析》第二版
CSDN:https://blog.csdn.net/weiyuefei/article/details/79316653(个人觉得总结的比较全面)