• 回溯法


    1. 简单概述

           回溯法思路的简单描述是:把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示,然后使用深度优先搜索策略进行遍历,遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解

    基本思想类同于: 

    • 图的深度优先搜索
    • 二叉树的后序遍历

          【  分支限界法:广度优先搜索

             思想类同于:图的广度优先遍历

                                    二叉树的层序遍历

          】

    2. 详细描述

            详细的描述则为:

            回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树,当算法搜索至解空间树的某一节点时,先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。如果不可行,则跳过对该节点为根的子树的搜索,逐层向其祖先节点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。

            回溯法的基本行为是搜索,搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类:1. 使用约束函数,在扩展结点处剪去不满足约束条件的子树;2.使用限界函数,剪去不能得到最优解的子树。这两种方法统称为剪枝函数。

            问题的关键在于如何定义问题的解空间,转化成树(即解空间树)。解空间树分为两种:子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

    3. 回溯法应用(具体应用见后续博客)

           当问题是要求满足某种性质(约束条件)的所有解或最优解时,往往使用回溯法。

           它有“通用解题法”之美誉,可以系统的搜索问题的所有解。

           回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法,适用于求解组合数较大的问题。

    4. 回溯法解题步骤

    (1)针对所给问题,确定问题的解空间:

                首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

        (2)确定结点的扩展搜索规则

        (3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

    5. 回溯法实现 - 递归和递推(迭代)      

    回溯法的实现方法有两种:递归和递推(也称迭代)。一般来说,一个问题两种方法都可以实现,只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
          【类比于图深度遍历的递归实现和非递归(递推)实现】

     递归实现

            思路简单,设计容易,但效率低,其设计范式如下:

    //针对N叉树的递归回溯方法  
    void backtrack (int t)  
    {  
        if (t>n) output(x); //叶子节点,输出结果,x是可行解  
        else  
           for i = 1 to k//当前节点的所有子节点  
            {  
                x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x  
                //满足约束条件和限界条件  
              if (constraint(t)&&bound(t))   
                    backtrack(t+1);  //递归下一层  
            }  
    }  
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        递推实现

          算法设计相对复杂,但效率高。

    //针对N叉树的迭代回溯方法  
    void iterativeBacktrack ()  
    {  
        int t=1;  
        while (t>0) {  
            if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
            {  
                for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
                {  
                    x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x  
                    if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件   
                    {  
                        //solution表示在节点t处得到了一个解  
                        if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解,输出  
                        else t++;//没有得到解,继续向下搜索  
                    }  
                }  
            }  
            else //不存在子节点,返回上一层  
            {  
                t--;  
            }  
        }  
    }  
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    6. 子集树和排列树   

    1. 子集树

           所给的问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时,相应的解空间成为子集树。
           如0-1背包问题,从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包,使得在满足背包不超重的情况下,背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

           回溯法搜索子集树的算法描述如下:

    void backtrack (int t)  
    {  
      if (t>n) output(x);  
        else  
          for (int i=0;i<=1;i++) {  
            x[t]=i;  
            if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
          }  
    } 
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    2. 排列树

          所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间就是排列树。
          如旅行售货员问题,一个售货员把几个城市旅行一遍,要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列,解空间就是排列树。
          回溯法搜索排列树的算法范式如下:

    void backtrack (int t)  
    {  
      if (t>n) output(x);  
        else  
          for (int i=t;i<=n;i++) {  
            swap(x[t], x[i]);  
            if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
            swap(x[t], x[i]);  
          }  
    }   
      
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    参考资料:王晓东《算法设计与分析》第二版

                     CSDN:https://blog.csdn.net/weiyuefei/article/details/79316653(个人觉得总结的比较全面)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cy0628/p/13966421.html
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