洛谷P4902乘积

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洛谷

题意简述

求(prod_{i=A}^Bprod_{j=1}^i lgroup frac{i}{j} group ^{lfloor frac{i}{j} floor})

sol

我的做法是观察法，首先我们把(i)和(j^{-1})分开做，可以看到

(i)的是这样的。表格内是每个(i)和(j)的对应(i)的贡献

(1^1)
(2^2)	(2^1)
(3^3)	(3^1)	(3^1)
(4^4)	(4^2)	(4^1)	(4^1)
(5^5)	(5^2)	(5^1)	(5^1)	(5^1)
(6^6)	(6^3)	(6^2)	(6^1)	(6^1)	(6^1)

可以发现第(i)行我们只要快速求出指数就可以快速幂了。然后会发现一个神奇的性质，第(i)列每过(i)就会让指数加(1)。这样的话我们给(i,2i,3i,4i,5i...)加1，然后前缀和就行了。

要不还是再说清楚点吧。下面这个表是要加的指数。

1
1	1
1	0	1
1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1
1	1	0	1	0	0	0	1

然后对每列做一遍前缀和。

1
2	1
3	1	1
4	2	1	1
5	2	1	1	1
6	3	2	1	1	1
7	3	2	1	1	1	1
8	4	2	2	1	1	1	1

然后就变回去了，这也许是差分的思想？？？具体实现不需要对每列开数组，丢到一起就OK了。

下面的1,2,3,4,5,6均指 他们的逆元

(1^1)
(1^2)	(2^1)
(1^3)	(2^1)	(3^1)
(1^4)	(2^2)	(3^1)	(4^1)
(1^5)	(2^2)	(3^1)	(4^1)	(5^1)
(1^6)	(2^3)	(3^2)	(4^1)	(5^1)	(6^1)

这是(j^{-1})的贡献。

然后和上面一样搞，但我们直接把这个数乘上去而不是加指数。

相信泥萌都懂了。那么我就贴个代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline int in()
{
    int k=0;char ch=gt;
    while(ch<'-')ch=gt;
    while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
    return k;
}
const int YL=19260817,N=2e6+5,M=1e6;
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*r*a%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
int sum[N],sum_i[N],inv[N];
int main()
{
    sum_i[0]=1;
    for(int i=1;i<=M;++i)inv[i]=ksm(i,YL-2);
    for(int i=1;i<=M;++i)
        for(int j=i;j<=M;j+=i)++sum[j];
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%(YL-1);
    for(int i=1;i<=M;++i)sum_i[i]=1ll*ksm(i,sum[i])*sum_i[i-1]%YL;
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1;
    for(int i=1;i<=M;++i)
        for(int j=i;j<=M;j+=i)sum[j]=1ll*sum[j]*inv[i]%YL;
    for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
    for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum_i[i]%YL;
    sum[0]=1;
    int t=in();
    while(t--)
    {
        int a=in(),b=in();
        printf("%lld
",1ll*sum[b]*ksm(sum[a-1],YL-2)%YL);
    }
    return 0;
}