• SPFA 最短路


        求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm。 
        SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
        从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。 
        很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

        简洁起见,我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路。
        我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值,可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G,推荐使用邻接表。

    spfa的算法思想(动态逼近法):
        设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。 
        松弛操作的原理是著名的定理:“三角形两边之和大于第三边”,在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛,就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j],如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j],否则不动。 
        下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的:




    和广搜bfs的区别:
        SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似,不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进(重新入队),于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。

    判断有无负环:

      如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)

     算法的描述:

     1 void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
     2     for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离,不在队列
     3     dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
     4     vis[s]=true; //源点s入队列
     5     head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
     6     while head<tail do {
     7        head+1;  //队首出队
     8        v=q[head];  //队首结点v
     9        vis[v]=false;  //释放对v的标记,可以重新入队
    10        for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
    11         if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
    12          dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
    13         if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列,则加入队列
    14     } 
    具体代码实现:
    /*********************************************/  
    //  d数组类似迪杰斯特拉的dis数组,记录起点到i点的局部最优解  
    //  c数组用来记录访问 i 点的次数  
    //  vis 记录是否在队列里面  ,与dijkstra中的s数据作用不同
    //  用数组模拟邻接表存图,w数组为权值  
    /*********************************************/  
    bool spfa_bfs(int s) // s为图的起点  
    {  
        queue <int> q; //  队列里存点  
        memset(d,0x3f,sizeof(d));    
        memset(c,0,sizeof(c));  
        memset(vis,0,sizeof(vis));  
        q.push(s);  
        vis[s]=1;  
        c[s]=1;  
        d[s]=0;  
        //顶点入队vis要做标记,另外要统计顶点的入队次数  
        while(!q.empty())  
        {  
            int x;  
            x=q.front();  
            q.pop();  
            vis[x]=0;  
            //队头元素出队,并且消除标记  
            for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表  
            {  
                int y=v[k];  
                if( d[x]+w[k] < d[y]) //如果可以松弛  
                {  
                    d[y]=d[x]+w[k];  //松弛  
                    if(!vis[y])  //顶点y不在队内  不要重复入队列  
                    {  
                        vis[y]=1;    //标记  
                        c[y]++;      //统计次数  
                        q.push(y);   //入队  
                        if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限,说明有负环  
                            return false;  
                    }  
                }  
            }  
        }  
        return true;  
    
    最短路径本身怎么输出?
        在一个图中,我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度,有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话,在算出最短路径长度后,我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的,并在最后将它输出呢?
        我们定义一个path[]数组,path[i]表示源点s到i的最短路程中,结点i之前的结点的编号(父结点),我们在借助结点u对结点v松弛的同时,标记下path[v]=u,记录的工作就完成了。
        如何输出呢?我们记录的是每个点前面的点是什么,输出却要从最前面到后面输出,这很好办,递归就可以了: 
     1 c++ code:
     2 void printpath(int k){
     3     if (path[k]!=0) printpath(path[k]);
     4     cout << k << ' ';
     5 }
     6 
     7 pascal code:
     8 procedure printpath(k:longint);
     9   begin
    10     if path[k]<>0 then printpath(path[k]);
    11     write(k,' ');
    12   end;
    13 
    14 spfa算法模板(邻接矩阵):
    15 c++ code:
    16 void spfa(int s){
    17     for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离
    18     dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列初始化,s为起点
    19     int i, v, head=0, tail=1;
    20     while (head<tail){   队列非空
    21         head++; 
    22         v=q[head];  取队首元素
    23         vis[v]=0;   释放队首结点,因为这节点可能下次用来松弛其它节点,重新入队
    24         for(i=0; i<=n; i++)  对所有顶点
    25            if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){  
    26                 dis[i] = dis[v]+a[v][i];   修改最短路
    27                 if (vis[i]==0){  如果扩展结点i不在队列中,入队
    28                     tail++;
    29                     q[tail]=i;
    30                     vis[i]=1;
    31                 }
    32            }
    33         
    34     }
    35 }
    36 
    37 pascal code:
    38 procedure spfa(s:longint);
    39   var i,j,v,head,tail:longint;
    40   begin
    41     for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;
    42     dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s;
    43     head:=0;tail:= 1;
    44     while head<tail do
    45        begin
    46          inc(head);
    47          v:=q[head];
    48          vis[v]:=false;
    49          for i:=0 to n do
    50            if dis[i]>dis[v]+a[v,i] then
    51              begin
    52                dis[i]:= dis[v]+a[v,i];
    53                if not vis[i] then
    54                  begin
    55                    inc(tail);
    56                    q[tail]:=i;
    57                    vis[i]:=true;
    58                  end;
    59              end;
    60 
    61       end;
    62   end; 

    spfa优化——深度优先搜索dfs

             在上面的spfa标准算法中,每次更新(松弛)一个结点u时,如果该结点不在队列中,那么直接入队。
        但是有负环时,上述算法的时间复杂度退化为O(nm)。能不能改进呢?
        那我们试着使用深搜,核心思想为每次从更新一个结点u时,从该结点开始递归进行下一次迭代。
    使用dfs优化spfa算法:
     1 pascal code:
     2 procedure spfa(s:longint);
     3   var i:longint;
     4   begin
     5     for i:=1 to b[s,0] do  //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数
     6            if dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] then  //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点
     7              begin
     8                dis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]];
     9                spfa(b[s,i]);
    10              end;
    11   end; 
    12 
    13 C++ code:
    14 void spfa(int s){
    15     for(int i=1; i<=b[s][0]; i++)  //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数
    16        if (dis[b[s][i]>dis[s]+a[s][b[s][i]]){  //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点
    17         dis[b[s][i]=dis[s]+a[s][b[s][i]];
    18         spfa(b[s][i]);
    19        }
    20 }
             相比队列,深度优先搜索有着先天优势:在环上走一圈,回到已遍历过的结点即有负环。绝大多数情况下的时间复杂度为O(m)级别。
        那我们试着使用深搜,核心思想为每次从更新一个结点u时,从该结点开始递归进行下一次迭代。
        对于WorldRings(ACM-ICPC Centrual European 2005)这道题,676个点,100000条边,查找负环dfs仅仅需219ms。
        一个简洁的数据结构和算法在一定程度上解决了大问题。
    判断存在负环的条件:重新经过某个在当前搜索栈中的结点。
     
    spfa优化——前向星优化
             星形(star)表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。对每个结点,它也是记录从该结点出发的所有弧,但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。也就是说,在该数组中首先存放从结点1出发的所有弧,然后接着存放从节点2出发的所有孤,依此类推,最后存放从结点n出发的所有孤。对每条弧,要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号,只是从同一结点出发的弧的顺序可以任意排列。此外,为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧,我们一般还用一个数组记录每个结点出发的弧的起始地址(即弧的编号)。在这种表示法中,可以快速检索从每个结点出发的所有弧,这种星形表示法称为前向星形(forward star)表示法。
        例如,在下图中,仍然假设弧(1,2),(l,3),(2,4),(3,2),(4,3),(4,5),(5,3)和(5,4)上的权分别为8,9,6,4,0,7,6和3。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下:
      
    前向星存储图:
     1 #include <iostream>
     2 using namespace std;
     3 int first[10005];
     4 struct edge{
     5     int point,next,len;
     6 } e[10005];
     7 void add(int i, int u, int v, int w){
     8         e[i].point = v;
     9         e[i].next = first[u];
    10         e[i].len = w;
    11         first[u] = i;
    12 }
    13 int n,m;
    14 int main(){
    15     int u,v,w;
    16     cin >> n >> m;
    17     for (int i = 1; i <= m; i++){
    18         cin >> u >> v >> w;
    19         add(i,u,v,w);
    20     }  //这段是读入和加入
    21     for (int i = 0; i <= n; i++){
    22         cout << "from " << i << endl;
    23         for (int j = first[i]; j; j = e[j].next)  //这就是遍历边了
    24             cout << "to " << e[j].point << " length= " << e[j].len << endl;
    25     }
    26 }

     来自资料:

    http://blog.csdn.net/WR_technology/article/details/51254054

    http://blog.csdn.net/xunalove/article/details/70045815

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/curo0119/p/8515811.html
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