可持久化数据结构用来解决这个问题：
1.在某个版本的基础上修改，同时生成新的版本
2.查询某个版本的值。
直接复制版本十分浪费。
为了查询以前的信息，可以不动以前的节点，只建新节点。
这就是可持久化数据结构的思想。
可回退化数据结构比上面的更弱。它用来解决这个问题：
1.在当前版本上进行修改
2.回退一步
这个数据结构的要求比普通数据结构更强，但是比可持久化数据结构更弱。
可以使用一个栈，存储被修改的位置，回退的时候再撤销。
但是很多时候，不能直接这么做。
比如可回退化单调栈，上面这么做时间复杂度是错的。
因为每次插入以后可能删除很多元素。
可以使用二分。由于栈中的元素是单调的，可以二分到需要弹栈的位置，然后把栈顶设为这个位置。
这样子时间复杂度就是正确的。
此外，上面两个数据结构都需要保证无论输入数据怎么样，操作时间复杂度都是一个较低的值val。
可持久化数据结构有这么一个转化：
如果把这个点向生成它的版本连边，则形成一颗树。
这棵树从某节点到根经过的操作就是这个版本经过的修改操作。
dfs整颗树，在到一个节点时插入，离开一个节点的时候删除。
则可持久化问题转化为更弱的可回退化问题。
例题：
可持久化数组
使用可持久化线段树维护
可持久化并查集（没做）
使用可持久化数组。
并查集要只加按秩合并，复杂度才正确。
可持久化平衡树（没做）
codechef WEASELSC
由于题目的楼梯可递增/递减，所以可以把楼梯翻转后再做一遍。
通过观察，我们可以发现这两个引理：
1.所有楼梯的高度都在(a)里出现过。
2.设(l_i)表示(a)里(i)左边第一个(<a_i)的位置。
如果我们第i个位置选择了(a_i)，则(l_i+1)到(i)都要选择(a_i)。
这是因为如果不选择(a_i)，结果不会更好。楼梯数不会更少
有了这两个引理，我们显然可以设dp方程。
设(f_{k,i})表示有(k)个阶梯，目前dp到i。
则(f_{k,i}=max(f_{k-1,j}+(i-j)*a_j),j<i,a_j<a_i)
如果(j<i)且(a_j<a_i)，则把(j)作为(i)的父亲。
问题转化为：
有一颗树，每个节点有一条直线，求出某个点(x)到根的所有直线截(x=k)的最大值。
这是个经典的问题。可以通过从根建可持久化李超树/有根树点分治等方法解决。
集训队互测 unknown
一道论文题。可以看论文。
动态半平面交
七彩树（没做，上面一道题弱化版）
异或粽子
如果我们要求全局最大xor和，则可以trie树。
这是个trie树经典问题。
如果要求区间最大xor和，把它差分成前缀最大xor和。
可以可持久化trie树。
每次最多会修改log个节点。
如果要求k大xor和，则根据经典套路可以二分/堆。
取k次最大值，每次拓展出可能成为解的位置即可。
购票
[NOI2018]你的名字
bzoj二分图
简单线段树分治。
需要可回退化数据结构
bzoj城市建设
显然可以线段树分治。
但是线段树分治需要支持动态最小生成树，支持回退。
使用lct，连边把环上权值最小的边删除，回退cut即可。
codechef FBCHEF
https://www.cnblogs.com/ctmlpfs/p/13677219.html
CF757G
CF1037H
一道比较简单的字符串数据结构题。
题目要求字典序严格(>)询问串且最小。
可以使用一个简单的贪心。解一定是贪心的让构造的串匹配最长长度+一个严格>原串该位置的最小字符。
考虑求出构造的串匹配的最长长度。这是个基本的sam+线段树合并/sam+可持久化线段树+dfs序匹配问题。
我们要知道是否有(pin [l,r])且(p-len+1in [l,r])其中len=匹配的长度。
合起来就是(pin [l+len-1,r])
设(nxt_i)表示(i)节点后的最小字符。没有设为(-1)
(nxt_i)可以通过求出构造的串匹配的最长长度的方法求出。
枚举(lcp)即可得到答案/判定无解。
CF464E（没做）
[IOI2015]分组（忘了）
HNOI2019 JOJO（忘了）
loj3225（没做）
jzoj4611（没做）
loj 网格图
jzoj5750
CF1063F
挖掘性质：
引理1：如果我们倒过来选，显然每次选比上次长度+1的最优。
如果不是这么选，则找到从字符串长度小到大第一个不符合这个条件的串。
然后通过从这个串的首/尾删除/插入字符。把这个串的长度变成上一个串的长度+1。
容易发现这样子依然合法。
设(f_i)表示(i)作为开头最多能选几个。
如果我们枚举一个长度(md)，表示现在的(f_i)。
则要求对于([i+md,n])的区间存在一个(j)使得(lcp(i,j)>=md-1)且(lcp(i+1,j)>=md-1)
引理2：(md)可以二分。即如果存在以(i)为结尾的长度为(md)的解，也存在(i)为结尾的长度为(md-1)的解。
我们可以把所有解中，存在对应(dp_i)的最后一位的位的串拿掉，再删除重复的串的最上面一个。
容易知道，最上面的一个在原来如果长度为(le+1)，则重复的串的最下面一个长度为(le)。
且最上面的一个重复串存在对应(dp_i)的最后一位的位。
所以可以删除。
所以可以二分(md)
然而数据范围达到了5e5，这样子肯定是不可取的。
引理3：(f_i-1<=f_{i+1})
如果把现在(f_i)的首位字符删除，则可以使用类似引理2的方法证明答案最多会小1。
移项得到(f_i<=f_{i+1}+1)
所以我们可以先把(f_i=f_{i+1}+1)，然后不断令(f_i--)，判定是否满足要求。
我们要求对于([i+md,n])的区间存在一个(j)使得(lcp(i,j)>=md-1)且(lcp(i+1,j)>=md-1)。
由于第一个条件的区间终点是(n)，所以可以倒着建可持久化线段树。
第二/三个条件，满足条件的肯定在后缀数组上是连续的一段，可以二分+st表求出。
查询这两个区间最大值是否(>=md-1)即可。
时间复杂度(nlog_2n)
loj6198
比较简单的字符串数据结构题。
有两种做法：
1.sa。
根据经典结论，两个字符串的lcp等于它在sa上的rmq。
考虑分治。每次取出最值分治。
这样子好处在于lcp是一定的。
接下来我们要求一个串对一个区间串的xor和的最大值。
这是个经典的问题。可以trie树解决。
但是直接分治时间复杂度是错误的。根据套路可以使用较小的xor较大的区间贡献答案。
根据启发式合并/轻重链剖分的复杂度，这样子时间复杂度是正确的
2.sam
根据经典结论，两个字符串的lcp等于它在sam parent树上的lca深度。
建立反串的sam。
dfs parent树。
我们要统计两个trie树的贡献。
这可以对trie树进行dfs。
当dfs到某个节点x时，枚举当前节点的第一个trie树选什么，根据大小关系得知它和哪个节点xor。
做完后把trie树合并到根即可。
（其实线段树分治，回滚莫队都需要可回退化数据结构，并且要求时间复杂度严格正确）