组合数问题

考场上忘了怎么拆c(a,b)*c(c,a)......

后来随便想就想出来了...
先列出答案式子：
$sum_{i=0}^{n}C_n^if(i)x^i$
f拆开
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]i^j$
斯特林数拆后面
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}s(j,k)frac{i!}{(i-k)!}$
上下乘k
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)frac{i!}{(i-k)!k!}$
变成组合数
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_i^k$
交换和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)sum_{i=0}^{n}C_i^kC_n^ix^i$
考场上卡在这一步。。。
有一个公式：
$C_a^b*C_c^a=C_c^bC_{c-b}^{a-b}$
用公式化简最后的组合数：
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)sum_{i=0}^{n}C_n^kC_{n-k}^{i-k}x^i$
再次变换和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^ksum_{i=0}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^i$
调整下界
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^ksum_{i=k}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^i$
调整后面的和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^kx^ksum_{i=k}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^{i-k}$
二项式展开公式：
$(x+1)^k=sum_{i=0}^{k}x^kC_k^i$
后面的和式上下界同时减去k
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=0}^{j}k!s(j,k)C_n^kx^ksum_{i=0}^{n-k}C_{n-k}^{i}x^{i}$
二项式展开
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=0}^{j}k!s(j,k)C_n^kx^k(x+1)^{n-k}$
问题转变求$C_{n}^{0...m}$m+1个组合数的值
如果暴力求c时间复杂度很高。
但是发现相邻两个组合数$C_{n}^{i}$和$C_{n}^{i+1}$的公式只差了两个数。分解质因数后乘积用线段树维护即可。

up:蒻智了，组合数直接转化为下降幂即可。

质因数可能较大，要离散化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define int long long
int pr[N*100],vi[N*100],s[N][N],n,x,mo,m,a[N],pc,ml[N*1000],c[N],p1[N],jc[N],zy[N*2][100],ct[N*2][100],cc[N*2],po[N*100],cg,cv[N*1000],ls[N*100],cq,tt[N*100],cs[N*100],mv[N*100],p2[N];
int qp(int x,int y){
    int r=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
        if(y&1)r=r*x%mo;
    return r;
}
void si(){
    for(int i=2;i<N*100;i++){
        if(!vi[i])
            pr[++pc]=i;
        for(int j=1;j<=pc&&i*pr[j]<N*100;j++){
            vi[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
}
void bd(int o,int l,int r){
    if(l==r){
        ml[o]=1;
        mv[o]=ls[l];
        return;
    }
    int md=(l+r)/2;
    bd(o*2,l,md);
    bd(o*2+1,md+1,r);
    ml[o]=1;
}
void mod(int o,int l,int r,int x,int y){
    if(l==r){
        cv[o]=y;
        ml[o]=qp(mv[o],y);
        return;
    }
    int md=(l+r)/2;
    x<=md?mod(o*2,l,md,x,y):mod(o*2+1,md+1,r,x,y);
    ml[o]=ml[o*2]*ml[o*2+1]%mo;
}
signed main(){
    si();
    cin>>n>>x>>mo>>m;
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    for(int i=0;i<N;i++){
        p1[i]=qp(x+1,i);
        p2[i]=qp(x,i);
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        cin>>a[i];
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=m*2;i++){
        int x=i;
        if(i>m)x=n-i+m+1;
        for(int j=1;pr[j]*pr[j]<=x;j++)
            if(x%pr[j]==0){
                cc[i]++;
                zy[i][cc[i]]=pr[j];
                ls[++cq]=pr[j];
                while(x%pr[j]==0){
                    ct[i][cc[i]]++;
                    x/=pr[j];
                }
            }
        if(x!=1){
            cc[i]++;
            zy[i][cc[i]]=x;
            ct[i][cc[i]]=1;
            ls[++cq]=x;
        }
    }
    sort(ls+1,ls+cq+1);
    cq=unique(ls+1,ls+cq+1)-ls-1;
    bd(1,1,cq);
    for(int i=1;i<=m*2;i++)
        for(int j=1;j<=cc[i];j++)
            zy[i][j]=lower_bound(ls+1,ls+cq+1,zy[i][j])-ls;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cg=0;
        for(int j=1;j<=cc[i];j++){
            po[++cg]=zy[i][j];
            cs[zy[i][j]]-=ct[i][j];
        }
        for(int j=1;j<=cc[m+i];j++){
            po[++cg]=zy[m+i][j];
            cs[zy[m+i][j]]+=ct[i+m][j];
        }
        sort(po+1,po+cg+1);
        for(int j=1;j<=cg;j++)
            mod(1,1,cq,po[j],cs[po[j]]);
        c[i]=ml[1];
    }
    for(int i=0;i<N;i++)
        s[i][i]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j%mo)%mo;
    int v=0;
    for(int j=0;j<=m;j++){
        int r=0;
        for(int k=0;k<=j;k++)
            r=(r+jc[k]%mo*p1[n-k]%mo*p2[k]%mo*c[k]%mo*s[j][k]%mo)%mo;
        v=(v+r*a[j]%mo)%mo;
    }
    cout<<v;
}