MATLAB学习多项式拟合（1）

(1)polyfit函数

MATLAB的polyfit函数用于多项式拟合，其语法为：

p = polyfit(x, y, k);

其中，x，y分别是横纵坐标向量，它们不仅元素个数相同，而且同为行向量或同为列向量。k为非负整数，是待拟合的多项式的最高次数。p是输出项，为待拟合的多项式的系数向量（由高次到低次排列）。

例子：

在MATLAB的命令窗口输入以下代码：

>> x = [1, 2, 3, 4];
>> y = [3, 5, 7, 9];
>> p = polyfit(x, y, 1)

敲击回车键，得到输出结果：

p =

    2.0000    1.0000

所以拟合得的函数就是：y = 2.0000X + 1.0000.

在进行多项式拟合时，必须注意的是，拟合的精度是有限的，一般而言，需要满足以下条件：

记m为不重复的横坐标的数目，则拟合次数k <= m - 1，在此前提下尽量使用低次多项式进行拟合。

（2）polyval函数

polyval，顾名思义就是“多项式的值”，该函数的功能是将已知数据代入拟合得的多项式求值。语法格式：

y = polyval(p, x);

其中，p是已经拟合的多项式（比如说（1）中的p），x是自变量组成的向量，y是所求值组成的向量。

例子：

在命令窗口输入以下代码：

>> clear
>> x = [1, 2, 3];
>> y = [3, 5, 7];
>> p = polyfit(x, y, 1); %得到拟合多项式：y = 2*x + 1
>> t = [1, 2, 3, 4, 5];
>> s = polyval(p, t)

得到结果：

s =

    3.0000    5.0000    7.0000    9.0000   11.0000

（3）计算多项式拟合的方差

已知原始数据x和y，拟合得到多项式p，判断拟合效果好坏的一个重要指标是方差，方差的计算方法是

e = sum((y - polyval(p, x)).^2).

polyval(p, x)得到拟合值向量，y是真实值向量，两者相减得到真实值和拟合值的差值向量，“.^2”表示对矩阵中的每一个元素进行平方运算，于是得到差值向量中每一个元素的平方，sum是求和函数，显然就是求差值向量元素的平方和，而这就是方差。

例子：

编写代码求多项式：

>> x = [1, 2, 3, 4];
>> y = [4, 5, 6, 7];
>> p = polyfit(x, y, 1)

得到

p =

    1.0000    3.0000

于是拟合的多项式为：y = 1.0000x + 3.0000

编写代码求方差：

>> e = sum((y - polyval(p, x)).^2)

得到方差：

e =

  3.1554e-030

可见，方差≈0.表明拟合效果很好。