欧拉函数篇

欧拉函数：

定义和简单性质

欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

欧拉函数的一些性质:

1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.

证明：

函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).

即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

5.欧拉降幂公式：（φ（C）表示C的欧拉函数值）

 

下面为求单个欧拉函数的代码（C++）：

LL eular(LL m)
{
LL res=m,a=m;
for(LL i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0)
a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}

如果求phi[1] phi[2] phi[3].....phi[n]代码如下：

int phi[maxn];
void Get_phi(int n)
{
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!phi[i])
for(int j=i;j<=n;j++)
{
if(!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}

}

对于降幂公式的应用，我有一篇Exponial的题目（求 (n)=n(n − 1)(n − 2)⋯21）；

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;


typedef long long LL;
LL N,M;


LL eular(LL m)
{
LL res=m,a=m;
for(LL i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0)
a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}


LL Fast_mod(LL x,LL n,LL m)
{
LL res=1;
while(n>0)
{
if(n & 1) res=(res*x)%m;
x=(x*x)%m;
n/=2;
}
return res;
}


LL work(LL n,LL m)
{
LL ans;
if(m==1) return 0;
else if(n==1) return 1;
else if(n==2) return 2%m;
else if(n==3) return 9%m;
else if(n==4) return Fast_mod(4,9,m);
else
{
LL phi=eular(m);
LL z=work(n-1,phi);
ans=Fast_mod(n,phi+z,m);
}
return ans;
}


int main()
{
cin>>N>>M;
cout<<work(N,M)<<endl;
return 0;
}