点击蓝色“五分钟学算法”关注我哟
加个“星标”,天天中午 12:15,一起学算法
今天分享一道超简单的博弈题,通过找规律的方式来发现其中的奥秘,最后只需要一行代码解决。
题目描述
爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。
最初,黑板上有一个数字 N
。在每个玩家的回合,玩家需要执行以下操作:
选出任一
x
,满足0 < x < N
且N % x == 0
。用
N - x
替换黑板上的数字N
。
如果玩家无法执行这些操作,就会输掉游戏。
只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True
,否则返回 false
。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。
示例 1:
输入:2
输出:true
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃无法进行操作。
示例 2:
输入:3
输出:false
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃也选择 1,然后爱丽丝无法进行操作。
提示:
1 <= N <= 1000
题目解析
对于这种博弈类的题目,如果没有思路的话我们不妨多举几个例子,尝试着从中找寻规律。
假设
N = 1
,爱丽丝没得选择,直接失败,即 鲍勃获胜;假设
N = 2
,爱丽丝有选择,她可以选择x = 1
,鲍勃面对的就是N = 2 - 1 = 1
,无法操作,爱丽丝获胜;假设
N = 3
,爱丽丝只能选择x = 1
,因为选x = 2
不满足3 % 2 = 0
,鲍勃面对的就是N = 3 - 1 = 2
,参考上面N = 2
的情形,此时鲍勃为N = 2
的先手,鲍勃获胜;假设
N = 4
,爱丽丝可以选择x = 1
来使鲍勃遇到N = 3
的情况,爱丽丝获胜;
貌似有个规律:N 为奇数时, 鲍勃获胜;N 为偶数时, 爱丽丝获胜。
是这样吗?
是的!
事实上,无论 N 为多大,最终都是在 N = 2 这个临界点结束的。谁最后面对的是 N = 2 的情形,谁就能获胜(这句话不太理解的话,仔细看看 N = 2、N = 3 这两种情形)。
接下来,我们得知道一个数学小知识:奇数的因子(约数)只能是奇数,偶数的因子(约数)可以是奇数或偶数。
千万不要忽略 1 也是因子!
爱丽丝是游戏开始时的先手。
当她面对的 N 为偶数时,她 一定可以 选到一个 N 的奇数因子 x(比如 1 ),将 N - x 这个奇数传给鲍勃;用
N - x
替换黑板上的数字N
,鲍勃面对的就是奇数 N,只能选择 N 的奇数因子 x,奇数 - 奇数 = 偶数
,此时传给爱丽丝的又是偶数。这样轮换下去爱丽丝会遇到 N = 2 的情形,然后获胜;当爱丽丝遇到的 N 是奇数时,只能传给鲍勃偶数或无法操作 (N = 1) ,无法获胜。
代码实现
class Solution {
public boolean divisorGame(int N) {
return N % 2 == 0;
}
}
本文相关阅读推荐:
GitHub 标星 3w+,很全面的算法和数据结构知识