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转自景禹
对于大量的输入数据，链表的访问时间太长，不宜使用。而树刚好就是一种极大地缩短访问时间的数据结构，其平均访问时间复杂度为O(logN)。
鉴于有些朋友并不仅仅是因为提高自己的编程能力来学习数据结构，所以我们先来唠叨一些有关于树的基本概念和考点。
01.
树的基本概念
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。当n=0时成为空树，在任意一棵非空树中：
有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
注意：
n>0时，根结点是唯一的，坚决不可能存在多个根结点。
m>0时，子树的个数是没有限制的，但它们互相是一定不会相交的。
比如，下图中的就不符合树的定义：
树中结点的分类：
如图中所示，每一个圈圈我们就称为树的一个结点。结点拥有的子树数称为结点的度-(Degree)，树的度取树内各结点的度的最大值。
度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点；
度不为0的结点称为分支结点或非终端结点，除根结点外，分支结点也称为内部结点。
树中结点之间的关系：
结点的子树的根称为结点的孩子(Child)，相应的，该结点称为孩子的双亲(Parent)，同一双亲的孩子之间互称为兄弟(Sibling)。
结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。
结点的层次：
结点的层次(Level)从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层。
其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。
02.
树的存储结构
不论是考试还是准备找工作面试笔试，永远记住，你理解的越多，那么你需要记住的东西就越少的道理。
之前景禹更新过有关顺序存储结构与链式存储结构，在谈栈与队列的时候也谈到这两种存储结构，这也就是为什么所有的教材将这两种存储结构安排在最前面的缘由。关于树的存储结构同样离不开这两种存储结构。
要存储树，简单的顺序存储结构和链式存储结构是不行滴！不过如果充分利用它们各自的特点，结合两种存储结构完全可以间接地来实现树的存储。
双亲表示法
双亲表示法，言外之意就是以双亲作为索引的关键词的一种存储方式。
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示其双亲结点在数组中位置的元素。
也就是说，每个结点除了知道自己是谁之外，还知道它的粑粑麻麻在哪里。
根结点没有双亲结点，其Parent用 -1 表示。
这样的存储结构，我们可以根据某结点的parent指针找到它的双亲结点，所用的时间复杂度是O(1)，索引到parent的值为-1时，表示找到了树结点的根。
可是，如果我们要知道某结点的孩子是什么？那么不好意思，请遍历整个树结构。那么我们是不是可以一起改进一下呢？
那现在我们又比较关心它们兄弟之间的关系呢？当然也是可以的：
但是我们可以发现，这张表格中存在大量的 -1，也就是说这样的存储方式浪费了大量的存储空间，这并不是我们所期望看到的，因此，我们来看一种更高效的树的存储结构。
孩子表示法
将树中的每个结点的孩子结点排列成一个线性表，用链表存储起来。对于含有 n 个结点的树来说，就会有 n 个单链表，将 n 个单链表的头指针存储在一个线性表中，这样的表示方法就是孩子表示法。
是不是瞬间感觉清爽多了，但是孩子表示法正好与双亲表示法相反，适用于查找某结点的孩子结点，不适用于查找其父结点。可以将两种表示方法合二为一，存储效果如下所示：
孩子兄弟表示法
使用链式存储结构存储普通树。链表中每个结点由 3 部分组成：
通过孩子兄弟表示法，普通树转化为了二叉树，所以孩子兄弟表示法又被称为“二叉树表示法”或者“二叉链表表示法”。如下图所示：
03.
二叉树
单链表
世上树有万千种，唯有二叉课上讲。这里的二叉是二叉树，因为二叉树使用的范围最广，最具有代表意义，因此不论教材还是考试都以二叉树为主。
二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
这个定义显然是递归形式的，所以咱看上去有点晕，因为自古有“神使用递归，人使用迭代！“ 递归在树的相关操作中简直方便的不要不要！
二叉树的特点
每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。（注意：不是都需要两棵子树，而是最多可以有两棵，没有子树或者有一棵子树也都是可以的。）
左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树，下面是完全不同的二叉树：
二叉树的五种基本形态
若只从形态上来考虑，拥有三个结点的普通树只有两种情况：两层或者三层。而对于二叉树来说，由于要区分左右，所以就演变成五种形态（这也是为什么考试面试笔试总选择二叉树进行考察）：
二叉树还可以继续分类，衍生出满二叉树和完全二叉树。
满二叉树
如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。
满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质（请注意图中的标注）：
1. 满二叉树中第 n 层的节点数为 $2^{n-1}$ 个。
2. 深度为 k 的满二叉树必有 $2^{k}-1$ 个节点 ，叶子数为 $2^{k-1}$。
3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 $log_2(n+1)$。
完全二叉树
如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。
完全二叉树除了具有普通二叉树的性质，它自身也具有一些独特的性质，比如说，n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊$log_2n$⌋+1（后面有证明）。
⌊$log_2{n}$⌋ 表示取小于 $log_2{n}$ 的最大整数，向下取整。例如，⌊$log_2{8}$⌋ = 3，而 ⌊$log_2{10}$⌋ 结果也是 3。
对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号（如图上图)），对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：
1. 当 i>1 时，父亲结点为结点 [i/2] 。（i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）
2. 如果 2*i>n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2*i 。
3. 如果 2*i+1>n ，则结点 $i$ 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2*i+1 。
二叉树的性质(不考试的朋友可以跳过了）
二叉树的性质一：在二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$个结点(i>=1)
这个性质其实很好记忆，考试的时候懂得画出二叉树的图便可以推出
二叉树的性质二：深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点(k>=1)
二叉树的性质三：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为$n_0$，度为2的结点数为$n_2$，则$n_0$=$n_2$+1
二叉树的性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log₂n⌋+1
小禹禹们！能看到这儿，你真的很棒！今天的内容是最基础的，后面景禹会陆续更新包括树的遍历、二叉排序树、哈弗曼树、平衡二叉树、B树和B+树、红黑树的相关内容！晚安，小禹禹们！景禹原创不易，觉得不错请顺手在文末右下角点个在看，如果文中有错误，也欢迎大佬指出，谢谢你呀！帮忙转发给需要的朋友，景禹不胜感激！！！
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