经典排序算法学习笔记七——堆排序

堆排序

 

数据结构	数组
最差时间复杂度	O(n*log n)
最优时间复杂度	O(n*log n)
平均时间复杂度	O(n*log n)
最差空间复杂度	О(n) total, O(1) auxiliary

1、堆的基础知识

堆节点的访问

通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置(2*i+1);
• 父节点i的右子节点在位置(2*i+2);
• 子节点i的父节点在位置floor((i-1)/2);

堆的操作

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点。堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
• 创建最大堆（Build_Max_Heap）：将堆所有数据重新排序
• 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

2、算法思想

1. 调用创建堆函数将输入数组A[1...n]造成一个最大堆，使得最大的值存放在数组第一个位置A[1]
2. 然后用数组最后一个位置元素与第一个位置进行交换，并将堆的大小减少1
3. 调用最大堆调整函数从第一个位置调整最大堆

3、伪代码

//from 算法导论
1.下标计算[为与程序对应，下标从0开始]
Parent(i)://为了伪代码描述方便
return i/2
    Left(i):
return 2*i+1
    Right(i):
return 2*i+2
    2.使下标i元素为根的的子树成为最大堆
    MAX_HEAPIFY(A,i):
l<——Left(i)
    r<——Right(i)
    if l<length(A)and A[l]>A[i]
thenlargest<——l
    else largest<——i
    if r<length(A)and A[r]>A[largest]
thenlargest<——r
    if largest!=i
    then exchange A[i]<——>A[largest]//到这里完成了一层下降
MAX_HEAPIFY(A,largest)//这里是递归的让当前元素下降到最低位置
    3.最大堆的建立,将数组A编译成一个最大堆
    BUILD_MAX_HEAP(A):
heapsize[A]<——length[A]
for i<——length[A]/2+1  to0
    MAX_HEAPIFY(A,i)//堆排序的开始首先要构造大顶堆，这里就是对内层节点进行逐级下沉（小元素）
    4.堆排序
    HEAP_SORT(A):
BUILD_MAX_HEAP(A)
    for i<——length[A]-1to1//这里能够保证堆大小和数组大小的关系，堆在每一次置换后都减一
    do exchangeA[1]<——>  A[i]
length[A]<——length[A]-1
    MAX_HEAPIFY(A,0)//对交换后的元素下沉

4、实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void swap(int* a, int* b) {
    int temp = *b;
    *b = *a;
    *a = temp;
}

void max_heapify(int arr[], int start, int end) {
    //建立父節點指標和子節點指標
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son <= end) { //若子節點指標在範圍內才做比較
        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) //先比較兩個子節點大小，選擇最大的
            son++;
        if (arr[dad] > arr[son]) //如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數
            return;
        else { //否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較
            swap(&arr[dad], &arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

void heap_sort(int arr[], int len) {
    int i;
    //初始化，i從最後一個父節點開始調整
    for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    //先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢
    for (i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(&arr[0], &arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}

int main() {
    int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };
    int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);
    heap_sort(arr, len);
    int i;
    for (i = 0; i < len; i++)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("
");
    system("pause");
    return 0;
}

5、复杂度分析

”1、它的运行时间主要是消耗在初始构建堆和在重建堆时的反复筛选上。

（1）在构建堆的过程中，因为我们是完全二叉树从最下层最右边的非终端结点开始构建，将它与其孩子进行比较和若有必要的互换，对于每个非终端结点来说，其实最多进行两次比较和互换操作，因此整个构建堆的时间复杂度为O(n)。

（2）在正式排序时，第i次取堆顶记录重建堆需要用O(logi)的时间（完全二叉树的某个结点到根结点的距离为log₂i＋1），并且需要取n-1次堆顶记录，因此，重建堆的时间复杂度为O(n*log n)。

所以总体来说，堆排序的时间复杂度为O(n*logn)。由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此它无论是最好、最坏和平均时间复杂度均为O(n*logn)。这在性能上显然要远远好过于冒泡、简单选择、直接插入的O(n²)的时间复杂度了。

2、空间复杂度上，需要一个单元的辅助空间用于交换,所以辅助空间为O(1)。

不过由于记录的比较与交换是跳跃式进行，因此堆排序是一种不稳定的排序方法。”——引用自冰河的博客http://blog.csdn.net/u012152619/article/details/47452813#t2