卡特兰数

　　卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

　　其前几项为（从第零项开始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 ...

　　

　　卡特兰数Cn满足以下递推关系：

　　　　

　　　　

　　例题：

　　问题：在n x n的网格里，求从左下角走到右上角的不经过y = x 这条线的单调路径的条数，即只能向上或向右走。

　　思路：每个n的解都可以看做先前的解数（再向右向上即为所求）加上不触及各个y=x上的点到达B点的方案数，可以发现其递推公式即为卡特兰数计算公式。

　　进出栈问题：栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．如下图1，1,2,3,4顺序进栈，那么一种可能的进出栈顺序是：1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出栈序列为1,3,4,2。