CRT
求满足关于 (x) 的方程组 (egin{cases}xequiv a_1~(mod~m_1)\xequiv a_2~(mod ~m_2)\...\xequiv a_n~(mod~m_n)end{cases}) 的最小非负解，其中 (m_i) 两两互质。
令 (M=prodlimits_{i=1}^n m_i)，(M_i=dfrac{M}{m_i})。用扩欧求出 (t_i) 满足 (M_it_iequiv1(mod~m_i))，答案为 (sumlimits_{i=1}^nM_it_ia_i)。
证明：
对于第 (i) 个方程，因为 (M_it_iequiv1(mod~m_i))，所以 (M_it_ia_iequiv a_i(mod~m_i))。显然 (m_imid M_j~(i eq j))，所以 (ans-M_it_ia_iequivsumlimits_{j=1}^nM_jt_ja_j(i eq j)equiv0~(mod~m_i))。所以 (ansequiv a_i~(mod~m_i))（把两个式子加起来）。
exCRT
求满足关于 (x) 的方程组 (egin{cases}xequiv a_1~(mod~m_1)\xequiv a_2~(mod ~m_2)\...\xequiv a_n~(mod~m_n)end{cases}) 的最小非负解，其中 (m_i) 不一定两两互质，方程组不一定有解。
假设我们已经求出前 (i-1) 个方程的解 (ans)，现需求 (ans') 满足前 (i) 个方程。令 (M=operatorname{lcm}(m_j)(j<i))。
如果把 (ans) 加上 (M)，显然它仍然满足前 (i-1) 个方程组。那么就考虑一直加 (M) 直到满足第 (i) 个方程，即求出一个数 (t) 满足 (ans+tMequiv a_i~(mod~m_i))，我们要的 (ans') 就等于 (ans+tM)。
至于如何求 (t)，首先把式子转换为 (tMequiv a_i-ans~(mod~m_i))。由扩欧基础知识可以知道它有解仅当 (gcd(M,m_i)mid a_i-ans)，若此方程无解则整个方程组无解。
若有解，就可以用扩欧求出 (t'Mequivgcd(M,m_i)~(mod~m_i))。两边同时乘上 (dfrac{a_i-ans}{gcd(M,m_i)}) 就得到了原式的解 (t=t' imesdfrac{a_i-ans}{gcd(M,m_i)})。
于是就得到了前 (i) 个方程的解，同时更新一下 (M)。
BSGS
求满足 (a^bequiv c~(mod~p)) 的最小自然数 (b)，(a,p) 互质。
令 (m=sqrt p)。由欧拉定理可知 (a^xequiv a^{xmod~p}~(mod~p))，所以方程若有解，则解一定小于 (p)。
那么就可以把 (a^bequiv c~(mod~p)) 表示成 (a^{km-l}~(k,lle m))， 所以 (a^{km}~equiv c imes a^l~(mod~p))。开一个 map，把所有 (a^{km}) 插入。然后枚举 (l) 看看是否有满足的 (k) 即可。第一个找到的不一定是答案，要对所有可能的答案取最小值。
当然也可以把所有 (c imes a^l~(l<m)) 插入 map，从小到大枚举所有 (k) 在 map 中找是否有满足的 (l)，第一个找到的就是答案。但要判一下是不是非负数。
exBSGS
求满足 (a^bequiv c~(mod~p)) 的自然数 (b)，(a,p) 不一定互质。
令 (g=gcd(a,p))。如果 (gmid c)，原式可变成 (dfrac{a}{g} imes a^{b-1}equiv dfrac{c}{g}~(mod dfrac{p}{g}))。用 (A,C,P) 记录下这三个数，就是 (Aa^{b-1}equiv C~(mod~P))。
这样一直做下去直到 (a) 与 (P) 互质（记录一下执行次数 (k)），可以得到 (Aa^{b-k}equiv C~(mod~P))。可以用 BSGS 求得 (b-k)，加上 (k) 就是答案。如果 BSGS 求得无解，说明原式也无解。
如果在任意时刻 (g mid c)，方程 (Axequiv C~(mod~p)) 一定无解，(Aa^bequiv C~(mod~p)) 也一定无解。
如果在任意时刻 (A=C)，当前方程最小自然数解为 (0)，直接输出当前执行次数即可。