一元二次方程和二次函数

一元二次方程

基本定义

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程，有且仅有两个根（重根按重数计算）。

一般形式为 (ax^2+bx+c=0(a,b,cin R,a eq 0))。

求根方法

• 开平方法

适用于 (x^2=a) 或 ((ax+b)^2=c) 的形式，直接开平方即可。

前者：(x=pmsqrt a)

后者：(x=frac{pmsqrt c-b}{a})

• 因式分解法

先将方程整理为 (ax^2+bx+c=0(a eq 0))。

将等号左边用十字相乘法因式分解得 ((cx+d)(px+q)=0 (cp=a,cq+dp=b,dq=c))

分别令 ((cx+d)=0,(px+q)=0) 求出 (x)，就得到了方程的解。

(x_1=-frac{d}{c},x_2=-frac{q}{p})

• 配方法

将方程两边同时除以 (a) 并将常数项移到右边，得 (x^2+px=q)

在方程两边同时添上一个数 (k)，使得等号左边构成完全平方式。

由完全平方式的性质可得 (p=2sqrt k)

( herefore k=(frac{p}{2})^2=frac{p^2}{4})

因式分解后得到 ((x+dfrac{p}{2})^2=q+dfrac{p^2}{4})

用开平方法得出根。

• 公式法

此公式是由配方法得来的。

(ax^2+bx+c=0)

(ax^2+bx=-c)

(x^2+frac{b}{a}x=-frac{c}{a})

(x^2+2 imesfrac{b}{2a} imes x+(frac{b}{2a})^2=(frac{b}{2a})^2-frac{c}{a})

((x+frac{b}{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2})

(x=pmsqrt{frac{b^2-4ac}{4a^2}}-frac{b}{2a}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a})

根的性质

• 根的类别

判别式 (Delta=b^2-4ac) （因为公式中它在根号里）。

1. (Delta>0) 时，方程有两个不同的实数根。
2. (Delta=0) 时，方程有两个相同的实数根。
3. (Delta<0) 时，方程无实数根，有两个共轭复根。

• 韦达定理

对于一个一元二次方程的两个根 (x_1,x_2)，满足：

1. (x_1+x_2=-frac{b}{a})
2. (x_1x_2=frac{c}{a})

证明：将公式代入即可。

1. (x_1+x_2=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}+frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}=frac{-2b}{2a}=-frac{b}{a})

2. (x_1x_2=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a} imesfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=frac{c}{a})

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二次函数

基本定义

基本表示形式：(y=ax^2+bx+c(a eq 0)) （一个二次单项式或多项式）。

图像

一条对称轴与 (y) 轴平行或重合于 (y) 轴，垂直于 (x) 轴的抛物线。开口朝上或朝下。

上图为函数 (y=dfrac{1}{3}x^2-x+1) 的图像。

• 对称轴

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 (x=-dfrac{b}{2a})。

我们在抛物线上取一点 (P(x_1,y_1)) （不在对称轴上）和这个点的对称点 (Q(x_2,y_2))。根据轴对称的定义可得，这两点到对称轴距离相等，即对称轴的位置 (x) 在 (frac{x_1+x_2}{2}) 上。

同时也有 (y_1=y_2)，即 (ax_1^2+bx_1+c=ax_2^2+bx_2+c)。

(ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2)

(a(x_1+x_2)(x_1-x_2)=-b(x_1-x_2))

因为 (x_1 eq x_2)，所以 (x_1-x_2 eq 0)

(a(x_1+x_2)=-b)

(x_1+x_2=-dfrac{b}{a})

对称轴 (x=-dfrac{b}{2a})。

(a,b) 同号时对称轴在 (y) 轴左侧，异号时在 (y) 轴右侧。

• 顶点

对称轴与抛物线的交点。

(y=ax^2+bx+c\=dfrac{b^2}{4a}-dfrac{b^2}{2a}+c\=dfrac{4ac-b^2}{4a})

顶点为 (P(-dfrac{b}{2a},dfrac{4ac-b^2}{4a}))。

顶点的位置决定了函数的最大值（(a<0) 时）或最小值（(a>0) 时）。函数在 (x=-dfrac{b}{2a}) 处取得最大/小值 (dfrac{4ac-b^2}{4a})。

• 开口

(a>0) 时，开口向上；(a<0) 时，开口向下。

(|a|) 越大，开口越小；(|a|) 越小，开口越大。

• 交点

与 (y) 轴的交点：((0,c))

与 (x) 轴的交点：

(Delta=b^2-4ac)

1. (Delta>0) 时，有 2 个

2. (Delta=0) 时，有 1 个

3. (Delta<0) 时，无

即求方程 (ax^2+bx+c=0) 的解。

• 值域

(a>0) 时，值域为 (Big[dfrac{4ac-b^2}{4a},+inftyBig))

(a<0) 时，值域为 (Big(-infty,dfrac{4ac-b^2}{4a}Big])

解析式

1. 一般式

(y=ax^2+bx+c)

2. 顶点式

(y=(x-h)^2+k)

顶点为 ((h,k))，对称轴为直线 (x=h)。

(x=h) 时，函数有最大/小值 (k)。

3. 交点式

只能用于抛物线与 (x) 轴有交点的情况（(b^2-4acgeqslant 0)）

(y=a(x-x_1)(x-x_2))

其中 (x_1) 和 (x_2) 是方程 (ax^2+bx+c=0) 的两个实根。

抛物线交 (x) 轴于 ((x_1,0)) 和 ((x_2,0))。