线性相关与线性无关

5.1.3线性相关与线性无关

定义1
设$V$是数域$F$上的线性空间，$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_nin V$,如果$F$中存在$n$个不全为零的数$k_1,k_2,cdots,k_n$使得$sum_{i=1}^n k_ialpha_i= heta$则称
$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性相关，否则称$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对$F$中$n$个数$k_1,k_2,cdots,k_n$当$sumlimits_{i=1}^nk_ialpha_i= heta$时，必可推出$k_i=0(i=1,2,cdots,n)$
或者说，
只要$k_1,k_2,cdots,k_n$不全为0，则$sumlimits_{i=1}^nk_ialpha_i$必不为$heta$.
定义2
设$V$是数域$F$上的线性空间，对向量$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_nin V$,数$k_1,k_2,cdots,k_nin F$,则称$sumlimits_{i=1}^nk_ialpha_i$是$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$的一个线性组合.如果向量$eta$能够写成$sumlimits_{i=1}^nk_ialpha_i$,则称$eta$可以由$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性表出.或者说$eta$是$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$的线性组合.
定义3
设$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$与$eta_1,eta_2,cdots,eta_m$是线性空间$V$中两组向量，如果每个$alpha_i(i=1,2,cdots,n)$都可以由向量组$eta_1,eta_2,cdots,eta_m$线性表出，我们就称向量组$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$可由向量组$eta_1,eta_2,cdots,eta_m$线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.

定理1
设$V$是一个线性空间，$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n(n ge 2)$是$V$中向量，则$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性相关的充分必要条件是$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$中必有一个向量$alpha_i$可由其余的$alpha_1,cdots,alpha_{i-1},alpha_{i+1},cdots,alpha_n$线性表出.
定理2
设$V$是一个线性空间，$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n,eta$是$V$中的向量，若$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性无关，而$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n,eta$线性相关，则$eta$可由$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性表出，且表示法唯一.
定理3
设$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$与$eta_1,eta_2,cdots,eta_m$是线性空间$V$中的两组向量，若$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$可由$eta_1,eta_2,cdots,eta_m$线性表出，且$n>m$，则$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性相关.$Downarrow$
推论：
如果$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$可由$eta_1,eta_2,cdots,eta_n$线性表出，且$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$线性无关，则$mge n$.