首先来看一个方程：
显然它没有实数根，即在实数范围内无解。
但在实数范围内无解真的代表无解吗？我们用公式法算一算：
也许你会说：(sqrt{-3}) 不是不存在吗？事实上，这个“不存在”是指在实数范围内不存在。它其实存在于一个更大的数集：复数集！
就这样，我们的数系从实数扩充到了复数！
现在，我亲爱的学者朋友们，带上家人朋友，系好安全带，一起出发！
一、复数
1. 定义
我们通常用 (z) 来表示复数，其数值为
其中 (a) 为实部，记作 (operatorname{Re}(z)) ；(b) 为虚部，记作 (operatorname{Im}(z)) ；(mathrm i) 为虚数单位，在数值上为 (sqrt{-1}) 。
当 (operatorname{Im}(z)=0) 时，(z) 为实数；
当 (operatorname{Im}(z) ot=0) 时，(z) 为虚数；
当 (operatorname{Im}(z) ot=0) 且 (operatorname{Re}(z)=0) 时，(z) 为纯虚数。
我们将复数集记作 (mathbf C) 。
2. 几何意义
当我们还在学实数的时候，数轴是这样的：
现在又多了复数。于是，我们需要用一个平面直角坐标系来表示数轴了：
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，(x) 轴叫做实轴，(y) 轴叫做虚轴。显然，在实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复平面内的点 ((a,b)) 表示虚数 (a+bmathrm i) 。
由上图可以看出，复数 (z=a+bmathrm i) 、点 (Z(a,b)) 和 平面向量 (overrightarrow{OZ}) 一一对应。我们将向量 (overrightarrow{OZ}) 的模 (r) 叫做复数 (z) 的模，记作 (lvert z vert) 。由模的定义可知：
为方便起见，我们常把复数 (z=a+bmathrm i) 说成点 (Z) 或说成向量 (overrightarrow{OZ}) ，并且规定，相等的向量表示同一个复数。
辐角
当 (z ot=0) 时，向量 (overrightarrow{OZ}) 与实轴正向的夹角称为复数 (z) 的辐角，记作 (operatorname{Arg}z) 。辐角的符号规定为：由正实轴依反时针方向转到 (overrightarrow{OZ}) 为正，依顺时针方向转到 (overrightarrow{OZ}) 为负。
显然一个非零复数 (z) 的辐角有无穷多个值，它们相差 (pi) 的整数倍，但 (operatorname{Arg}z) 中只有一个值 ( heta_0) 满足条件 (-pile heta_0lepi) ，称为复数的主辐角，记为 (arg z) ，于是
这里我们使用的是弧度制，单位为 (mathrm{rad})，可以省略不写。(pi mathrm{rad}=180^{circ}.)
3. 四则运算
3-1 运算法则
将参与运算的复数当做多项式，并将 (mathrm i^2) 换成 (-1) 就可以推出一下公式了：
3-2 几何意义
事实上复数运算与向量运算是相对应的，向量的乘法和除法就是由复数定义的。
复数的加减法与向量的加减法对应，符合平行四边形法则，很容易理解。
复数相乘时，模长相乘，辐角相加。
证明：设有两个复数 (z_1=a+bmathrm i,z_2=c+dmathrm i) 分别对应点 (A(a,b),B(c,d)) ，它们的积为 (z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)mathrm i) ，对应点 (C(ac-bd,ad+bc)) 。
-
模长相乘：
[egin{aligned} ecause~& left{ egin{aligned} lvert z_1 vert &=sqrt{a^2+b^2},\ lvert z_2 vert&=sqrt{c^2+d^2},\ end{aligned} ight.\ herefore~& egin{aligned} lvert z_1 vertlvert z_2 vert&=sqrt{a^2+b^2} imessqrt{c^2+d^2}\ &=sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}, end{aligned}\ ext{又}ecause~& egin{aligned} lvert z_1z_2 vert&=sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}\ &=sqrt{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}\ &=sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}, end{aligned}\ herefore~& lvert z_1z_2 vert=lvert z_1 vertlvert z_2 vert. end{aligned} ] -
辐角相加：设有点 (P(1,0)) ，连接 (OP,PB,AC) 。
[egin{aligned} ecause~ &egin{aligned} AC^2&=[a-(ac-bd)]^2+[b-(ad+bc)]^2\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+a^2+b^2-2a^2c-2b^2c\ &=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)+a^2+b^2-2(a^2+b^2)c\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(a^2+b^2)(1-2c)\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2-2c+1), end{aligned}\ &egin{aligned} OA^2PB^2&=(a^2+b^2)[(1-c)^2+(-d)^2]\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2-2c+1), end{aligned}\ herefore~& AC:PB=OA,\ ext{又}ecause~& OC=OAcdot OB,OP=1,\ herefore~& OC:OB=OA:OP=AC:PB=OA,\ herefore~&Delta OACapproxDelta OBP,\ herefore~&angle AOC=angle BOP,\ herefore~&arg z_1z_2=angle AOC+angle AOP=arg z_1+arg z_2. end{aligned} ]
给出一个图方便大家验证：
二、复数与方程
我们都知道，一个一元 (n) 次方程有 (n) 个根。现在有了复数，我们可以将任意一个一元 (n) 次方程的每个根都表示出来了！
现在让我们来表示文首方程的根：
只要你有办法求，就没有表示不了的根了！
三、单位根
现在，请求
的所有根！
除了 (1) ，好像最多也就有个 (-1) ，那其他的根该怎么求呢？
别怕！有了单位根，这都不是事！
1. 定义
我们称 (n) 次幂为 (1) 的复数为 (n) 次单位根，即方程
的复数解。
因为 (n) 次方程有且只有 (n) 个复数根，所以 (n) 次单位根一共有 (n) 个。
为了求出单位根，我们在复平面上放一个单位圆。单位圆即圆心在原点上且半径为 (1) 的圆。如图：
显然，单位圆是由所有模长为 (1) 的复数表示的点构成的。
关于一个复数 (z) 和 (z^n) 的关系：
- 当 (lvert z vert>1) 时，(lvert z^n vert=lvert z vert^n>1) ，
- 当 (lvert z vert<1) 时，(lvert z^n vert=lvert z vert^n<1) ，
- 当 (lvert z vert=1) 时，(lvert z^n vert=lvert z vert^n=1) 。
所以，只有模长为 (1) 的复数可能为 (n) 次单位根，即所有单位根表示的点都在单位圆上。可以发现，(n) 次单位根是且只能是辐角为 (frac{2kpi}n(0le k<n,kinmathbf Z))（即 (frac 1 n) 圆周）的复数。
所以这 (n) 个 (n) 次单位根 (n) 等分单位圆。
由此可得
2. 性质
-
首先由复数乘法的几何意义可知 (arg zomega_n^1mod 2pi=(arg z+frac{2pi}n)mod 2piquad(z ot=0)) ，即一个非零复数每乘一次 (omega_n^1) 都相当于辐角增加 (frac 1 n) 圆周。
-
(omega_n^k=omega_n^{kmod n})，用于 (k<0) 或 (kge n) 的情况。
证明：
[egin{aligned} ecause~&arg omega_n^k=arg omega_n^{kmod n}\ herefore~&omega_n^k=omega_n^{kmod n}. end{aligned} ] -
((omega_n^1)^k=omega_n^k) ，
证明：由性质 (0) 可知 (arg(omega_n^1)^k=kargomega_n^1=frac{2kpi}n=argomega_n^k) ，即 ((omega_n^1)^k) 相当于辐角为 (frac k n) 圆周的复数，即 (omega_n^k) 。
-
(arg zomega_n^k=arg z+frac{2kpi}nquad(z ot=0)) ，即一个非零复数每乘一次 (omega_n^k) 都相当于辐角增加 (frac k n) 圆周。
证明：由性质 (0,1) 可得。
-
(omega_n^i imesomega_n^j=omega_n^{i+j}) ，
证明：由性质 (2) 可得。
-
(omega_{pn}^{pk}=omega_n^kquad(p ot=0,pinmathbf Z)) ，
证明：因为 (argomega_n^k=frac{2kpi}{n},argomega_{pn}^{pk}=frac{2pkpi}{pn}=frac{2kpi}{n}) ，即 (omega_{pn}^{pk}) 的辐角为 (frac{pk}{pn}) 圆周，(omega_n^k) 的辐角为 (frac k n) 圆周，所以 (argomega_n^k=argomega_{pn}^{pk}) 。
-
(omega_n^{(k+n/2)}=-omega_n^kquad(2|n)) ，
证明：由性质 (3) 可得 (omega_n^{(k+n/2)}=omega_n^k imesomega_n^{(n/2)}=omega_n^k imes-1=-omega_n^kquad(2|n)) 。
3. 单位根反演
首先，我们定义
-
[frac 1 nsumlimits_{i=0}^{n-1}omega_n^{(a-b)i}=[a=b],quad(a,b<n) ]
证明：当 (a=b) 时，
[frac 1 nsumlimits_{i=0}^{n-1}omega_n^{(a-b)i} =frac 1 nsumlimits_{i=0}^{n-1}omega_n^0 =1, ]当 (a ot=b) 时，
[frac 1 nsumlimits_{i=0}^{n-1}omega_n^{(a-b)i} =frac 1 n imesfrac{omega_n^{(a-b)n}-1}{omega_n^{a-b}-1 } =frac 1 n imesfrac{omega_n^0-1}{omega_n^{a-b}-1 } =0. ] -
[frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bi} =[a|b], ]
证明：当 (a|b) 时，
[frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bi} =frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^0 =1, ]当 (a ot|b) 时，
[frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bi}=frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bimod a}=frac 1 a imesfrac{omega_a^{ab}-1}{omega_a^b-1}=frac 1 a imesfrac{omega_a^0-1}{omega_a^b-1}=0.frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bi}=frac 1 asumlimits_{i=0}^{a-1}omega_a^{bimod a}=frac 1 a imesfrac{omega_a^{ab}-1}{omega_a^b-1}=frac 1 a imesfrac{omega_a^0-1}{omega_a^b-1}=0. ]
The End
以上就是全部内容了！感谢阅读！若有错误，欢迎指正！