匈牙利算法过程图解

匈牙利算法--过程图解

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以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下：

    （1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。

    （2）选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（yi）标记）过的X中顶点，例如顶点xi，然后用（xi）去标记Y中顶点y，如果xi与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过。重复步骤（2），直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。

    （3）选取一个刚标记（在步骤（2）中用（xi）标记）过的Y中结点，例如yi，用（yi）去标记X中结点x，如果yi与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过。重复步骤（3），直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。

（2），（3）交替执行，直到下述情况之一出现为止：

    （Ⅰ）标记到一个Y中顶点y，它不是M-顶点。这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1条是非匹配边。

    （Ⅱ）步骤（2）或（3）找不到可标记结点，而又不是情况（Ⅰ）。

    （4）当（2），（3）步骤中断于情况（Ⅰ），则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边（从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配），回到步骤（1），同时消除一切现有标记。

    （5）对一切可能，（2）和（3）步骤均中断于情况（Ⅱ），或步骤（1）无可标记结点，算法终止（算法找不到交替链）。

    我们不打算证明算法的正确性，只用一个例子跟踪一下算法的执行，来直观地说明这一点。

例9.3  用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹配。

    （1）置M = Æ，对x1-x6标记（*）。

    （2）找到交替链（x1, y1）（由标记（x1），（*）回溯得），置M = {(x1, y1)}。

    （3）找到交替链（x2, y2）（由标记（x2），（*）回溯得），置M = {(x1, y1), (x2, y2),}。

    （4）找到交替链（x3, y1, x1, y4）（如图9.4所示。图中虚线表示非匹配边，细实线表示交替链中非匹配边，粗实线表示匹配边），因而得M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4)}。

    （5）找到交替链（x4, y3）（由标记（x4），（*）回溯得），置M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4), (x4, y3)}。

    （6）找到交替链（x5, y4, x1, y1, x3, y7）（如图9.5所示，图中各种线段的意义同上），因而得

                 M = {(x2, y2), (x4, y3),(x5, y4), (x1, y1), (x3, y7)}

即为最大匹配（如图9.6所示）。