数论 + 公式

What is N? 

Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335

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Mean: 

给你三个数b、P、M，让你求有多少个n满足下式。

analyse:

看到数据被吓到了，没半点思路，后来看了解题报告，方法竟然是暴力！

当然暴力是有条件的。

有这样一个公式：

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) （x>=Phi(C)）

这个公式的具体证明原来在aekdycoin的百度空间有，但是随着百度空间被转移(百度作死，流失了好多优质的文章==)，这篇文章的完整版也流失了。

我们就当这个公式是定理吧！

当n!<Phi(C)时，此时我们暴力解决就可。

 

当n!大于phi（P）的时候，就需要用上面的降幂公式了。

 

方法还是暴力，n!%phi(p)会出现0，这是必然的，至少n>=phi(p)为0，

 

那么(n+1)!%phi(p)也为0，这便出现了重复，转变为n^(phi(p))%p==b的问题了。

 

固定了指数，根据鸽巢原理，余数是循环的，那么只要找出p个的结果，之后通过循环节求解便可以了。

 

Trick:当P为1的时候，b为0，这时候答案是m+1,不过m可能为2^64-1，如果加1的话就会溢出，巨坑。

Time complexity: O(N)

 

Source code:

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-25-23.41
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64(LL);
typedef unsigned __int64(ULL);
const double eps(1e-8);

LL get_eular(LL m)
{
     LL ret=1;
     for(LL i=2; i*i<=m; i++)
           if(m%i==0)
           {
                 ret*=i-1;
                 m/=i;
                 while(m%i==0)
                 {
                       m/=i;
                       ret*=i;
                 }
           }
     if(m>1) ret*=m-1;
     return ret;
}

long long Quickpow(long long a,long long b,long long m)
{
     long long ans=1;
     while(b)
     {
           if(b&1) { ans=(ans*a)%m,b--; }
           b/=2,a=a*a%m;
     }
     return ans;
}

LL b,p,m,ring[100010];
int main()
{
     int t,Cas=0;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
           scanf("%I64u %I64u %I64u",&b,&p,&m);
           if(p==1)
           {
                 if(m==18446744073709551615ULL)
                       printf("18446744073709551616 ");
                 else
                       printf("%I64u ",m+1);
                 continue;
           }
           LL i=0,phi=get_eular(p),fac=1,ans=0;
           for(i=0; i<=m&&fac<=phi; i++)
           {
                 if(Quickpow(i,fac,p)==b)
                       ans++;
                 fac*=i+1;
           }
           fac=fac%phi;
           for(; i<=m&&fac; i++)
           {
                 if(Quickpow(i,fac+phi,p)==b)
                       ans++;
                 fac=(fac*(i+1))%phi;
           }
           if(i<=m)
           {
                 LL cnt=0;
                 for(int j=0; j<p; j++)
                 {
                       ring[j]=Quickpow(i+j,phi,p);
                       if(ring[j]==b)
                             cnt++;
                 }
                 LL idx=(m-i+1)/p;
                 ans+=cnt*idx;
                 LL remain=(m-i+1)%p;
                 for(int j=0; j<remain; j++)
                       if(ring[j]==b)
                             ans++;
           }
           printf("Case #%d: %I64u ",++Cas,ans);
     }
     return 0;
}/