「NOI2022」冒泡排序

题目

给定正整数 \(n\) 和 \(m\) 条限制，每条限制为非负整数三元组 \((L,R,V)\)。

现在，你需要构造一个长度为 \(n\) 的非负整数序列，并且满足每一条限制：一条限制 \((L,R,V)\) 表示你所构造的序列必须满足 \(\min_{L\le i\le R}a_i\)​ 恰好为 \(V\)​。此外，你还需要最小化逆序对数。

输出最小逆序对数。多组数据。

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(\sum n,\sum m\le 10^6,1\le L\le R\le n,0\le V\le 10^9\)。

此处额外补充若干特殊性质，供参考。

Property A：\(V\in \{0,1\}\)​。

Property B：\(L=R\)​。

Property C：所有限制的 \([L,R]\)​ 两两不相交。

分析

确实是很好的题目，考场上就可以想出来的我只能顶礼膜拜。

下面从特殊性质入手来分析这道题目。

暴力

一时半会儿连暴力都写不出来，这是为什么呢？

不限制 \(a\)​ 的取值怎么写暴力嘛。怎么限制 \(a\) 的取值？将值域按照出现了的 \(V\)​ 分段（每一个 \(V\)​ 需要单独成段）。则每一段内的 \(a\) 显然应该取到同一个值；进一步地，把不包含出现过的 \(V\) 的段合并到相邻的 \(V\) 值上去明显不劣，因此得出结论：

Conclusion.

必然存在一个最优解，其中 \(\{a\}\) 中每一个元素的值都是出现过的 \(V\) 值。

现在可以完成 28pts 的暴力。良心！

Property A.

基于 Property A.，我们可以做一个暴力的计算。

首先，\(V=1\) 的限制就意味着 \(i\in [L,R]\) 的 \(a_i\) 都必须是 \(1\)。那么，我们尝试在剩下的 \(a\) 的位置上放 \(0\)，可以设计 DP：\(f_{i,j}\) 表示前缀 \([1,i]\) 中，放了 \(j\) 个 \(0\)，且 \(a_i=0\) 的最小逆序对数。转移需要注意，相邻两个 \(0\) 之间不能包含一个完整的 \(V=0\) 的限制，这个可以通过处理前缀最值限制转移达成。

进一步地，我们可以按照 \(j\) 这一维划分 DP 阶段。每一阶段的 DP 可以使用单调队列优化，因此复杂度可以优化到 \(O(n^2)\)。

后续应该可以接着优化，但是我考场上没有想出来所以不准备讲。

Property B.

不知道怎么做？猜！

此时的限制就是钦定某些 \(a\) 的值为特定值。那怎么猜？肯定是猜剩下的序列是单调的啊：

Conclusion.

最优解必然满足自由选取的 \(a\) 构成的子序列单调不降。

---

Proof.

如果在自由的值中，出现了逆序对 \(i<j,a_i>a_j\)，我们尝试交换。

发现交换之后 \(a_i\) “凭空”变小、\(a_j\) “凭空”变大，而真正导致逆序对数目变化的是 \([i,j]\) 之间的对，所以交换之后肯定不会变劣。

我们当然可以设计 DP，用 \(f_{i,j}\) 表示前缀 \([1,i],a_i=j\) 的最小逆序对。暴力转移是 \(O(nm)\) 的，后续优化可以做到 \(O(n\log m)\)。

Note.

注意将费用计算完整。DP 的代价需要考虑所有已经确定的值和它构成的逆序对，不然答案会变小。

话说如果发现输出比答案小，不应该怀疑自己写错了吗？

但是，我们也可以贪心地看：设 \(I\) 为已确定的下标集合，\(c_{i,j}=\sum_{k\in I,k<i}[a_k>j]+\sum_{k\in I,k>i}[j>a_k]\)，则我们令 \(a_i\in \arg\min_jc_{i,j}\)。这必然是一个下界；而如果出现了自由值的逆序对，我们可以交换消去，因此它一定可以被取到。这样就容易做到 \(O(n\log m)\) 了 。

Remark.

这里其实体现了结论的两种用法：

1. 限制解的形态，从这个角度入手我们得到了 DP。

2. 放松计算限制，从这个角度入手我们得到了贪心，并且相对来说实现更加简单。

第一个用法比较直接，比较好想。第二个用法可能需要绕一个弯子，想起来有难度，但是不能忘记这种思路。寻找结论时也可以从这两个方向入手。

Property C.

不知道怎么做？猜！

首先尝试向 Property B. 靠齐，那就可以先将每个 \((L,R,V)\) 的 \(V\) 放到 \(a_L\) 上，根据性质不用担心多个限制打架的问题。现在，我们相当于是钦定了若干个位置的值，并且位置 \(i\) 的 \(a_i\) 必须大于等于某个下界 \(l_i\)。

有了下界限制，我们无法轻易地进行交换。还是先将自由值逆序对 \(i<j,a_i>a_j\) 拿来考虑：如果 \(l_i>a_j\)，则 \(i,j\) 之间必然会出现逆序对；否则 \(l_i\le a_j\)，又由于 \(a_i>a_j\ge l_j\)，交换仍然可以进行。

此时我们可以想到拓展 Property B. 的做法：如果设 \(I\) 为已确定的位置的下标集合，\(d_{i,j}=c_{i,j}+\sum_{1\le k<i,k\not \in I}[l_k>j]\)，则我们可以令 \(a_{i}\in \arg\min_jd_{i,j}\)。这仍然是一个下界；而此时未被考虑的逆序对必然形如 \(i<j,a_i>a_j\ge l_i\)，我们仍然可以交换消去。这样还是容易做到 \(O(n\log m)\)。

正解

不知道怎么做？猜！

此时可能出现无解的情况。检查过程可以直接按照 \(V\) 从大到小进行，用一个并查集查询后继就可以完成。顺便，我们还可以在这个过程中处理出 \(l\) 来。

首先尝试向 Property C. 靠齐。我们按照 \(V\) 从大到小进行，这样不同的 \(V\) 的限制是相对独立的。如果此时，\(V\) 相同的限制的 \([L,R]\) 满足 Property C. 的话，我们就可以直接利用那种做法——钦定某些位置的值，然后开始贪心。

问题是，如果 \(V\) 相同的限制的 \([L,R]\) 有重叠，Property C. 的策略就失效了。退回来考虑，“钦定”的实质，就是要保证 \(V\) 作为区间最小值可以被取到。既然是要放一个区间最小值，我们自然要尽量往前放。这是一个和位置和限制都有关的条件，所以：

• 从位置来考虑，位置 \(i\) 最多只能保证一部分 \(V=l_i\) 的限制满足要求（因为 \(l_i\) 是 \(\max\) 出来的结果），这需要令 \(a_i=l_i\)。

• 从限制来考虑，“尽量往前放”可以很容易地转化成贪心语言：从后往前贪心，如果不放会破坏限制，我们就必须令 \(a_i=l_i\)。

  如何检查会不会破坏限制？首先，对于限制 \((L,R,V)\)，我们将 \([L,R]\) 收缩到 \([L',R']\)，使得 \(L'\) 是原区间内第一个 \(l_i\le a_i\) 的位置，\(R'\) 类似。扫描过程中，我们维护 \(q_j\) 表示 \(V=j\) 且尚未放置最小值的限制中，\(L'\) 的最大值。在 \(i\) 处贪心时检查 \(q_j\) 和 \(i\) 的关系即可知道需不需要令 \(a_i=l_i\)。

为什么是对的？不知道，这下子真的是猜的了。之后进行 Property C. 的贪心就可以了。

Remark.

注意逐步推广、逐步在主体思路上做出修改的思路。

有的时候修改是显然的，比如 Property B. 到 Property C. 的修改；但是有的修改需要绕一个弯，比如正解的修正过程。这个时候要适当回退思路，要意识到当前的想法很可能是一个枝干，比如最开始我并没有延续“钦定”的方向，而仅仅是在贪心过程中顺便保证了一下最小值（当然这是殊途同归的）。不过，即便是重走一些路，也比被卡在枝干上要好。

代码

Note.

代码实现和上面的说法不太一样，因为代码是一边贪心一边完成“钦定”，所以需要倒着贪心，不过正确性应该没有问题。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <algorithm>

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

typedef long long LL;

const LL INF = 1e18;
const int inf = 1e9;
const int MAXN = 1e6 + 5;

template<typename _T>
inline void Read( _T &x ) {
	x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
	while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = s == '-', s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
	if( f ) x = -x;
}

template<typename _T>
inline void Write( _T x ) {
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if( 9 < x ) Write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
inline _T Min( const _T &a, const _T &b ) {
	return a < b ? a : b;
}

template<typename _T>
inline _T Max( const _T &a, const _T &b ) {
	return a > b ? a : b;
}

struct Restriction {
	int l, r, v;

	Restriction(): l( 0 ), r( 0 ), v( 0 ) {}
	Restriction( int L, int R, int V ): l( L ), r( R ), v( V ) {}
};

std :: pair<int, int> mn[MAXN << 2];
int tag[MAXN << 2];
int BIT[MAXN];

std :: vector<int> each[MAXN];
int lim[MAXN];

Restriction rstr[MAXN];

int fa[MAXN], low[MAXN];

int N, M, tot;

inline void Down( int &x ) { x &= x - 1; }
inline void Up( int &x ) { x += x & ( -x ); }
inline void Update( int x, int v ) { for( ; x <= tot ; Up( x ) ) BIT[x] += v; }
inline  int Query( int x ) { int ret = 0; for( ; x ; Down( x ) ) ret += BIT[x]; return ret; }

inline void MakeSet( const int &n ) {
	rep( i, 1, n ) fa[i] = i;
}

int FindSet( const int &u ) {
	return fa[u] == u ? u : ( fa[u] = FindSet( fa[u] ) );
}

inline void UnionSet( const int &u, const int &v ) {
	fa[FindSet( u )] = FindSet( v );
}

inline void Upt( const int &x ) {
	mn[x] = Min( mn[x << 1], mn[x << 1 | 1] );
}

inline void Add( const int &x, const int &delt ) {
	tag[x] += delt, mn[x].first += delt;
}

inline void Normalize( const int &x ) {
	if( ! tag[x] ) return ;
	Add( x << 1, tag[x] );
	Add( x << 1 | 1, tag[x] );
	tag[x] = 0;
}

void Build( const int &x, const int &l, const int &r ) {
	if( l > r ) return ;
	tag[x] = 0, mn[x] = { 0, - r };
	if( l == r ) return ;
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	Build( x << 1, l, mid );
	Build( x << 1 | 1, mid + 1, r );
	Upt( x );
}

void Update( const int &x, const int &l, const int &r, const int &segL, const int &segR, const int &delt ) {
	if( l > r || segL > segR ) return ;
	if( segL <= l && r <= segR ) { Add( x, delt ); return ; }
	int mid = ( l + r ) >> 1; Normalize( x );
	if( segL <= mid ) Update( x << 1, l, mid, segL, segR, delt );
	if( mid  < segR ) Update( x << 1 | 1, mid + 1, r, segL, segR, delt );
	Upt( x );
}

std :: pair<int, int> QueryMin( const int &x, const int &l, const int &r, const int &segL, const int &segR ) {
	if( segL <= l && r <= segR ) return mn[x];
	int mid = ( l + r ) >> 1; Normalize( x );
	if( segR <= mid ) return QueryMin( x << 1, l, mid, segL, segR );
	if( mid  < segL ) return QueryMin( x << 1 | 1, mid + 1, r, segL, segR );
	return Min( QueryMin( x << 1, l, mid, segL, segR ), QueryMin( x << 1 | 1, mid + 1, r, segL, segR ) );
}

int QuerySpec( const int &x, const int &l, const int &r, const int &p ) {
	if( l == r ) return mn[x].first;
	int mid = ( l + r ) >> 1; Normalize( x );
	return p <= mid ? QuerySpec( x << 1, l, mid, p ) : QuerySpec( x << 1 | 1, mid + 1, r, p );
}

int main() {
	int T; Read( T );
	while( T -- ) {
		Read( N ), Read( M );
		rep( i, 1, M ) Read( rstr[i].l ), Read( rstr[i].r ), Read( rstr[i].v );
		std :: sort( rstr + 1, rstr + 1 + M,
			[] ( const Restriction &a, const Restriction &b ) -> bool {
				return a.v > b.v;
			} );
		bool dead = false;
		int old = -1; tot = 0;
		per( i, M, 1 ) {
			if( old ^ rstr[i].v ) tot ++;
			old = rstr[i].v, rstr[i].v = tot;
		}
		MakeSet( N + 1 );
		rep( i, 1, N ) low[i] = 1;
		for( int l = 1, r ; l <= M ; l = r ) {
			for( r = l ; r <= M && rstr[r].v == rstr[l].v ; r ++ );
			for( int k = l ; k < r ; k ++ ) 
				if( ( rstr[k].l = FindSet( rstr[k].l ) ) > rstr[k].r ) {
					dead = true; break;
				}
			if( dead ) break;
			for( int k = l ; k < r ; k ++ )
				for( int x = FindSet( rstr[k].l ) ; x <= rstr[k].r ; 
					 x = FindSet( x ) ) low[x] = rstr[k].v, UnionSet( x, x + 1 );
		}
		if( dead ) {
			puts( "-1" ); continue;
		}
		rep( i, 1, N ) each[i].clear();
		rep( i, 1, M ) each[rstr[i].r].push_back( i );
		Build( 1, 1, tot );
		rep( i, 1, tot ) BIT[i] = 0;
		rep( i, 1, N ) Update( 1, 1, tot, 1, low[i] - 1, +1 );
		LL ans = 0;
		per( i, N, 1 ) {
			Update( 1, 1, tot, 1, low[i] - 1, -1 );
			for( const int &x : each[i] )
				lim[rstr[x].v] = Max( lim[rstr[x].v], rstr[x].l );
			if( i == lim[low[i]] ) {
				ans += QuerySpec( 1, 1, tot, low[i] ) - Query( low[i] );
				Update( 1, 1, tot, low[i] + 1, tot, +1 );
				Update( low[i] + 1, +1 );
				lim[low[i]] = 0;
			} else {
				std :: pair<int, int> tmp = QueryMin( 1, 1, tot, low[i], tot );
				ans += tmp.first - Query( low[i] );
				Update( 1, 1, tot, - tmp.second + 1, tot, +1 );
				Update( - tmp.second + 1, +1 );
			}
		}
		Write( ans ), putchar( '\n' );
	}
	return 0;
}