• 「Nowhere」Helesta


    题目

    给定 \(n\) 个互异的整点 \(\{(x_k,y_k)\}_{k=1}^n\),和 \(m\) 个点集 \(\{S_k=\{(x,y)|A_kx+B_ky+C_k>0\}\}_{k=1}^{m}\),请给出一个排列 \(p\in S_m\),使得 \(|S_{p_1}|+\sum_{k=2}^{m}|S_{p_k}\oplus S_{p_{k-1}}|\le M\)。其中 \(A\oplus B\) 表示 \(A,B\) 集合的对称差,可以理解为“对元素的出现情况异或”。

    对于 \(100\%\) 的数据,满足 \(M=1.8\times 10^8,1\le n\le 10^5,1\le m\le 2\times 10^5\),且 \(|A_k|,|B_k|,|C_k|,|x_k|,|y_k|\le 10^9,A_k^2+B_k^2>0\)

    理论上来说,这是 2021 昆明区域赛的 H 题。

    分析

    这个......看题,显然是做莫队啊......

    实际上可以想象成:维护一个点集 \(S\),每次只能加入或者删除单个元素。我们需要给半平面安排一个顺序,使得从 \(S=\varnothing\) 开始,按照这个顺序经过每个点集所需要的 \(S\) 的变化次数 \(\le M\)

    Note. 所以,莫队的本质实际上也就是一类维护难以成块更新的集合的分块方法。

    建议画一个“莫队九宫格”

    莫队的关键在于,对于元素分组,使得组内元素的移动次数尽可能降低(一般是降到线性于另一个量)。组间移动的次数可能也需要考虑,不过一般来说不会成为瓶颈。

    如何分组才能使得组内移动次数尽可能少呢?或许可以类似于莫队,按照“截距”排序。emmmm......由于不可能按照斜率分组,所以按照截距排序没有办法保证点能够完全有序加入,这个还不够好。

    另一个角度,我们考虑旋转。假如所有直线都经过同一个点,这样无疑是相当优秀的,组内移动只有 \(2n\) 次。

    Remark. 从这个角度来看,几何之中不仅有平动,也有转动。看起来对于转动不够熟悉!

    另外,这背后似乎有一个叫做 rotating scanline(旋转扫描线)的算法,不清楚怎么回事。

    那么,假如从 \(n\) 个点中,选取了 \(B\) 个可能的旋转中心,我们显然对于每条半平面的分界直线,都选取离它最近的旋转中心。这样的话,我们实际上构建了这 \(B\) 个点的 Voronoi 图,理论上来说每个块内部的期望的点数为 \(O(\frac n B)\)。分析一下移动次数:

    1. 每次旋转,按照斜率来旋转本身的移动次数为 \(O(n)\)。另外,每条直线并不是严格经过旋转中心,因此还需要从旋转中心移动到目标直线,这一部分移动次数为 \(O(\frac n B)\)

      Note. 为了避免歧义,实际的移动方式就是在直线之间切换。这里假装是每次都要往返旋转中心,分析出来的步数不会小于真实步数。

    2. 切换旋转中心,如果始末斜率相同,则移动次数就是 \(n\) 次。不过这里不会成为瓶颈,无所谓。

    最终,我们的构造方法的移动次数应为 \(O(mB+\frac{n}B)\),当 \(B\) 取到 \(\sqrt{\frac {n^2}m}\) 的时候,理论上来说是最优的。

    代码

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <random>
    #include <vector>
    #include <algorithm>
    
    #define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
    #define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
    
    const int MAXN = 1e5 + 5, MAXM = 2e5 + 5;
    
    template<typename _T>
    void read( _T &x ) {
    	x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
    	while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
    	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
    	x *= f;
    }
    
    template<typename _T>
    void write( _T x ) {
    	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
    	if( 9 < x ) write( x / 10 );
    	putchar( x % 10 + '0' );
    }
    
    int seq[MAXN];
    
    std :: vector<int> each[MAXN];
    
    double A[MAXM], B[MAXM], C[MAXM], ang[MAXM];
    double X[MAXN], Y[MAXN];
    
    int N, M, THRE;
    
    inline double GetDist( const double &a, const double &b, const double &c, const double &x, const double &y ) {
    	return fabs( a * x + b * y + c ) / sqrt( a * a + b * b );
    }
    
    int main() {
    	static std :: mt19937 rng( 1145141 );
    
    	freopen( "c.in", "r", stdin );
    	freopen( "c.out", "w", stdout );
    	read( N ), read( M );
    	rep( i, 1, N ) scanf( "%lf %lf", &X[i], &Y[i] );
    	rep( i, 1, M ) {
    		scanf( "%lf %lf %lf", &A[i], &B[i], &C[i] );
    		ang[i] = atan2( - A[i], B[i] );
    	}
    	rep( i, 1, N ) seq[i] = i;
    	std :: shuffle( seq + 1, seq + 1 + N, rng );
    	THRE = ceil( sqrt( M ) );
    	rep( i, 1, M ) {
    		int idx = 1;
    		double dist = GetDist( A[i], B[i], C[i], X[seq[1]], Y[seq[1]] );
    		rep( j, 2, THRE ) {
    			double tmp = GetDist( A[i], B[i], C[i], X[seq[j]], Y[seq[j]] );
    			if( tmp < dist ) dist = tmp, idx = j;
    		}
    		each[idx].push_back( i );
    	}
    	rep( i, 1, THRE ) {
    		std :: sort( each[i].begin(), each[i].end(),
    			[] ( const int &a, const int &b ) -> bool {
    				return ang[a] < ang[b];
    			} );
    		for( const int &x : each[i] )
    			write( x ), putchar( '\n' );
    	}
    	return 0;
    }
    
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