「AGC027D」Modulo Matrix

题目

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分析

说难也不难，说简单也不简单的题目。

\(\max \bmod \min = m\) 的限制，归结到底就是 \(m=1\)：如果 \(A\) 满足 \(m=1\) 时的限制，那么 \(kA\) 就满足 \(m=k\) 时的限制，但后者就意味着 \(\max a\le \lfloor\frac{10^{15}}k\rfloor\)。简单点说，凭直觉我们也知道应该研究 \(m=1\) 的情况。

然后随便摆弄一下矩阵，随便选几个数按照随便什么方式丢到矩阵里面去。你可以发现这种填法：

任意确定第一行和第一列的元素，其余的元素可以按照 \(a_{i,j}=\operatorname{lcm}(a_{i-1,j},a_{i,j-1})+1\) 的方式生成。

这个东西当然无法满足 \(\max a\le 10^{15}\)，但是它揭示了一点，就是矩阵中的元素实际上仅有若干个决定，剩下的可以通过简单的方式来生成。

有可能你随便放，然后灵光乍现想到了“交错放置”的方法（至少我是这样想到的）。不过，由于“相邻”的格子间的元素才会产生关联，结合“确定一部分，生成一部分”的想法，我们可以想到先对网格二染色，然后将黑色的格子全部填上，这样白色的格子就可以直接生成了。

由于网格中最大值可以达到 \(\frac{n^2}{2}\)，所以这种方法的理论最大值为 \(\frac{n^8}{16}\)。通过调整放置顺序可能会得到更紧的限制，不过事实上这玩意儿还是过不了。

下面这个想法就非常精妙了：虽然我们必须保证黑格子内的颜色不同，但是我们还可以小小地操作一下，让一个白格子周围的四个黑格子内有不少重复的质因子。网格可以被看作是行列的交叉，因此一种方法是给每一行、每一列单独赋一个质因子，每个黑格子就可以填入行列之积。此时白格子内部包含 9 种质因子。考虑到第 1000 个素数大约为 \(5\times 10^3\)，这样构造出来的上界是 \(1.9\times 10^{33}\)，相当于大退步。

但是，考虑到黑格子组成的斜网格对应的是更小的正网格，我们大可对于斜对角线赋值。这样每个白格子只会有 4 种质因子，构造上上界为 \(6.25\times 10^{14}\)，这个就足以通过了。

小结：

1. 在网格中要熟悉二染色的看法、熟悉将网格看作交叉的看法；
2. 注意对于网格结构的常见变换，比如斜网格、正网格的对换。这个其实也就是 Chebyshev 距离和 Manhattan 距离对换的基本想法。

代码

#include <cstdio>

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

typedef long long LL;

const int MAXN = 505, MAXL = 2e5;

template<typename _T>
void read( _T &x ) {
    x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
    while( s < '0' || '9' < s ) { f = s == '-', s = getchar(); }
    while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
    if( f ) x = -x;
}

template<typename _T>
void write( _T x ) {
    if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
    if( 9 < x ) write( x / 10 );
    putchar( x % 10 + '0' );
}

int dir[4][2] = { { -1, 0 }, { 1, 0 }, { 0, -1 }, { 0, 1 } };

LL mat[MAXN][MAXN];

int prime[MAXL], pn;
bool isPrime[MAXL];

int N;

LL Gcd( LL x, LL y ) { for( LL z ; y ; z = x, x = y, y = z % y ); return x; }
LL Lcm( LL x, LL y ) { return x / Gcd( x, y ) * y; }

inline bool Inside( const int x, const int y ) {
    return 1 <= x && x <= N && 1 <= y && y <= N;
}

void EulerSieve( const int n ) {
    for( int i = 2 ; i <= n ; i ++ ) {
        if( ! isPrime[i] ) prime[++ pn] = i;
        for( int j = 1 ; j <= pn && 1ll * i * prime[j] <= n ; j ++ ) {
            isPrime[i * prime[j]] = true;
            if( ! ( i % prime[j] ) ) break;
        }
    }
}


int main() {
    EulerSieve( 1e5 );
    read( N );

    if( N == 2 ) 
        return puts( "4 7\n23 10" ), 0;
    rep( i, 1, N ) rep( j, 1, N ) if( ( i + j ) % 2 == 0 )
        mat[i][j] = 1ll * prime[( j - i + N + 1 ) / 2] * prime[( i + j ) / 2 + N];
    rep( i, 1, N ) rep( j, 1, N ) {
        if( mat[i][j] ) continue;
        mat[i][j] = 1;
        for( int k = 0, tx, ty ; k < 4 ; k ++ )
            if( Inside( tx = i + dir[k][0], ty = j + dir[k][1] ) )
                mat[i][j] = Lcm( mat[i][j], mat[tx][ty] );
        mat[i][j] ++;
    }
    rep( i, 1, N ) rep( j, 1, N )
        write( mat[i][j] ), putchar( j == N ? '\n' : ' ' );
    return 0;
}