问题
这篇杂谈的目的是解决如下问题：
如何求出如下形式幂级数的封闭形式：
[sum_{kge 0}inom{2k}{k}z^k ]
方法一
观察系数，可以发现 (inom{2n}{n}) 的形式也出现在了卡塔兰数的通项中。我们有卡塔兰数的封闭形式：
[C(z)=sum_{kge 0}frac{inom{2k}{k}}{k+1}z^k=frac{1-sqrt{1-4z}}{2z}
]
根据这个东西随便算几下可以得到：
[sum_{kge 0}inom{2k}{k}z^k=(zC(z))'=(1-4z)^{-frac{1}{2}}
]
方法二
我们先来看一个比较简单的恒等式：
[
ewcommand{downp}[2]{#1^{underline{#2}}}
downp{r}{k}downp{left(r-frac{1}{2}
ight)}{k}=2^{-2k}downp{(2r)}{2k},kin mathbb{N}
]
这个恒等式易于证明，只需要将 (downp{r}{k}) 和 (downp{left(r-frac{1}{2} ight)}{k}) 分别对应到 (downp{(2r)}{2k}) 的奇项和偶项即可。
现在我们可以将它转化为组合数的形式：
[inom{r}{k}inom{r-frac{1}{2}}{k}=2^{-2k}inom{2r}{k}inom{2r-k}{k},kin mathbb N
]
你可能已经注意到了，右边出现了 (inom{2r}{k}) 这样的项，这和我们所需的 (inom{2n}{n}) 已经相当接近了。因而，我们可以尝试代入 (r=k=n,nin mathbb N)：
[egin{aligned}
inom{n-frac{1}{2}}{n}&=2^{-2n}inom{2n}{n}\
inom{-frac{1}2}{n}&=left(-frac 1 4
ight)^ninom{2n}{n}\
inom{2n}{n}&=(-4)^ninom{-frac{1}{2}}{n}
end{aligned}
]
好的，现在我们已经得到了所需要的东西，可以代回到原来的问题中：
[egin{aligned}
sum_{kge 0}inom{2k}{k}z^k
&=sum_{kge 0}(-4)^{k}inom{-frac{1}{2}}{k}z^k\
&=(1-4z)^{-frac{1}{2}}
end{aligned}
]
简单、直接、漂亮，不是吗？
更多问题
这里留下问题：
如何求出如下形式幂级数的封闭形式：
[sum_{nge 0}inom{kn}{n}z^n,kge 0 ]
我们已经解决了 (k=0,1,2) 的情形。剩余的部分留给不咕咕咕的笔者了。