题目
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分析
本题的弱化版便是[SCOI2007]修车。
考虑现在有 (n) 份菜给一位厨师做，时间分别为 (t_1,t_2,dots,t_n) ，总等待时间为：
[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^it_{j}=sum_{j=1}^nt_j(n-j+1)=sum_{j=1}^nj imes t_{n-j+1}
]
由于 (t) 的顺序任意，所以我们可以将时间分摊到每份菜上面，即可以直接认为第 (i) 份菜的花费为 (i imes t_i) 。
注意到费用同时收菜的种类，厨师身份和做菜顺序三个影响，于是可以想到如下建图方式：
- 对于 (m) 位厨师，每位厨师拆成 (p) 个点，点 ((i,j)) 表示厨师 (i) 正在做第 (j) 道菜；对于每个点 ((i,j)) 连向汇点，容量为 1 ，费用为 0 。
- 对于 (n) 道菜，建立 (n) 个点，源点向第 (i) 道菜连接边，容量为 (p) ，费用为 0 。
- 对于第 (i) 道菜和任意个厨师点 ((x,y)) ，连接 (i ightarrow (x,y)) ，容量为 1 ，费用为 (y imes t_{i,x}) 。
注意到一个重要的性质：在费用最小的情况下，每道菜的制作时间必然会尽量地靠前，因此不会出现做菜中断的情况。
但是这里，这种暴力建图方法会......直接 T 飞。
问题很明显，点太多，导致边也太多。我们需要减少点数。
回到性质，可以得出：如果第 (i) 个厨师都还没有做第 (j) 道菜，那么他也不可能做 (j+1) 道， (j+2) 道以及更多的菜。也即，我们只需要在图上加入第 (i) 个厨师的第一道未做的菜，而剩余的点，则完全可以在做完一道菜之后再加入到图中。
注意本题的 " 做菜 " 实际上就是在图上推流量为 1 的流，所以我们每次推流之后都需要加点。可以发现这样的点数就是 (O(m+p)) ，边数就是 (O(n(m+p))) ，再加上玄学的网络流复杂度就可以通过了。
小结：
- 拆分代价的思想，使得代价最终与顺序无关
- 对于单调性质的利用，从而删除多余点，优化的点、边数量。
代码
#include <cstdio>
#define rep( i, a, b ) for( int (i) = (a) ; (i) <= (b) ; ++ (i) )
#define per( i, a, b ) for( int (i) = (a) ; (i) >= (b) ; -- (i) )
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 5, MAXM = 1e6 + 5;
const int MAXS = 1e3 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ); s = getchar(); }
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
template<typename _T>
_T MIN( const _T a, const _T b )
{
return a < b ? a : b;
}
struct Edge
{
int to, nxt, w, c;
}Graph[MAXM << 1];
int q[MAXN], fro, rea;
int tim[MAXS][MAXS];
int id[MAXS][MAXS], len[MAXS];
int head[MAXN], dist[MAXN], cur[MAXN], bel[MAXN], prev[MAXN];
int N, M, cnt = 1, tot, source, sink;
bool vis[MAXN];
void AddEdge( const int from, const int to, const int C, const int W )
{
Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
Graph[cnt].c = C, Graph[cnt].w = W, head[from] = cnt;
}
void AddE( const int from, const int to, const int C, const int W ) { AddEdge( from, to, C, W ), AddEdge( to, from, 0, -W ); }
#define Nxt( x ) ( x = ( x + 1 ) % MAXN )
bool SPFA( const int S, const int T )
{
int u, v; fro = rea = 0;
rep( i, 1, tot ) dist[i] = INF, prev[i] = 0;
dist[q[rea] = S] = 0, vis[S] = true, Nxt( rea );
while( fro ^ rea )
{
vis[u = q[fro]] = false, Nxt( fro );
for( int i = head[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
if( Graph[i].c && dist[v = Graph[i].to] > dist[u] + Graph[i].w )
{
dist[v] = dist[u] + Graph[i].w, prev[v] = i;
if( ! vis[v] ) vis[q[rea] = v] = true, Nxt( rea );
}
}
return dist[T] < INF;
}
void Add( const int j )
{
bel[id[j][++ len[j]] = ++ tot] = j;
rep( i, 1, N ) AddE( i, id[j][len[j]], 1, tim[i][j] * len[j] );
AddE( id[j][len[j]], sink, 1, 0 );
}
int main()
{
read( N ), read( M ), tot = N, source = ++ tot, sink = ++ tot;
rep( i, 1, N ) { int p; read( p ), AddE( source, i, p, 0 ); }
rep( i, 1, N ) rep( j, 1, M ) read( tim[i][j] );
rep( j, 1, M ) Add( j );
LL cost = 0; int delt;
while( SPFA( source, sink ) )
{
delt = INF;
for( int u = sink ; u ^ source ; u = Graph[prev[u] ^ 1].to ) delt = MIN( delt, Graph[prev[u]].c );
for( int u = sink ; u ^ source ; u = Graph[prev[u] ^ 1].to ) Graph[prev[u]].c -= delt, Graph[prev[u] ^ 1].c += delt;
cost += delt * dist[sink], Add( bel[Graph[prev[sink] ^ 1].to] );
}
write( cost ), putchar( '
' );
return 0;
}