[luogu p1029] 最大公约数和最小公倍数问题

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题面

题目描述

输入两个正整数 (x_0, y_0)，求出满足下列条件的 (P, Q) 的个数：

1. (P,Q) 是正整数。
2. 要求 (P, Q) 以 (x_0) 为最大公约数，以 (y_0) 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 (P, Q) 的个数。

输入输出格式

输入格式

一行两个正整数 (x_0, y_0)。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 (P, Q) 的个数。

输入输出样例

输入样例 #1

3 60

输出样例 #1

4

说明

(P,Q) 有 (4) 种：

1. (3, 60)。
2. (15, 12)。
3. (12, 15)。
4. (60, 3)。

对于 (100\%) 的数据，(2 le x_0, y_0 le {10}^5)。

分析

考虑数论做法，废话数论试炼场里面当然是数论了，首先有定理：两个数的乘积等于它们最小公倍数和最大公约数的乘积。也就是：

[a imes b = gcd(a,b) imes operatorname{lcm}(a,b) ]

简证：
首先我们知道，对于任意正整数(a,b)，都有

[gcd(dfrac{a}{gcd(a,b)},dfrac{b}{gcd(a,b)}) = 1 ]

也就是(dfrac{a}{gcd(a,b)},dfrac{b}{gcd(a,b)})互质。原因很简单，如果它们不互质，就肯定有一个更大的公约数。
这个时候就能得到：

[dfrac{a imes b}{gcd(a,b)} = operatorname{lcm}(a,b) ]

说实话，当年我见到这个式子我是完全蒙圈的，光看确实比较难理解。如果你自己在草稿纸上画一画，你就明白了大概了。刚刚说，(dfrac{a}{gcd(a,b)},dfrac{b}{gcd(a,b)})互质，也就是说最大公因数其实有一个显然的特征，两个数除以它们的最大公因数后互质。非常显然，(dfrac{a}{gcd(a,b)} imes b = dfrac{b}{gcd(a,b)} imes a = dfrac{a imes b}{gcd(a,b)})。还是因为(dfrac{a}{gcd(a,b)},dfrac{b}{gcd(a,b)})互质，所以三者不能在不破坏(a,b)的情况下同时做除法。此时(dfrac{a imes b}{gcd(a,b)} = operatorname{lcm}(a,b))，变形就可以得到(a imes b = gcd(a,b) imes operatorname{lcm}(a,b))了。

举个例子吧，(4,6)，它们的最大公因数是(2)。此时有(dfrac{4}{2} imes6 = dfrac{6}{2} imes4 = dfrac{4 imes6}{2})，也就是(2 imes6 = 3 imes4 = 12) 。此时不能在不破坏原数(4,6)的情况下同时做除法，所以(4,6)的最小公倍数是(12) 。但别忘了，这个(12)还有(dfrac{4 imes6}{2})的身份。这啥啊，这就是两个数的乘积除以最大公约数。两边同时( imes 2)，(12 imes 2 = 4 imes 6)。 完美。

证了这么半天的定理，有啥用吗？当然有了。我们可以考虑一种做法，枚举(i)从(1 sim sqrt{n imes m})，通过(dfrac{n imes m}{i})求出另一个数，再判断这两个数的最大公因数是不是(m)即可，如果是ans++。轻松愉快兴奋激动。（？

当然了还有一些注意事项：

1. 由于我们这里只枚举了(i)到(sqrt{n imes m})，但是题目中两个符合要求的数调换后会得到一个新的答案。所以这里我们最后要ans *= 2。当然了，如果你开心，也可以在循环过程中写ans += 2，也可以达到相同的效果。
2. 小心(n = m) 情况。这种情况下会有一种答案，这种答案中的两个数相同，都为(n)。但是这种答案调换两个数后并不会得到一个新的答案，所以我们需要特判：if(n == m) ans--。注意这里可别写到ans *= 2之前，那样就相当于ans -= 2了。我差点掉进这个坑。

代码

代码实现比较简单。

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-02-26 12:49:17 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-02-26 14:01:06
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

long long gcd(int a,int b) {
    return a % b ? gcd(b,a % b) : b;
}

int main() {
    int m,n;
    int ans = 0;
    scanf("%d%d",&m,&n);

    for(int i = 1; i <= sqrt(m * n);i++)
        if(n * m % i == 0 && gcd(i,n * m / i) == m)
            ans++;
    ans *= 2;
    if(n == m) ans--;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

评测记录

AC 100：R31075842