防线 2020/3/31
题目描述
达达学习数学竞赛的时候受尽了同仁们的鄙视，终于有一天......受尽屈辱的达达黑化成为了黑暗英雄怪兽达达。
就如同中二漫画的情节一样，怪兽达达打算毁掉这个世界。
数学竞赛界的精英 lqr 打算阻止怪兽达达的阴谋，于是她集合了一支由数学竞赛选手组成的超级行动队。
由于队员们个个都智商超群，很快，行动队便来到了怪兽达达的黑暗城堡的下方。
但是，同样强大的怪兽达达在城堡周围布置了一条“不可越过”的坚固防线。
防线由很多防具组成，这些防具分成了 N 组。
我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。
也就是说，我们可以用三个整数 S， E 和 D 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的 S，S + D，S + 2D，…，S + KD(K∈ Z，S + KD≤E，S + (K + 1)D>E)位置上。
黑化的怪兽达达设计的防线极其精良。如果防线的某个位置有偶数个防具，那么这个位置就是毫无破绽的(包括这个位置一个防具也没有的情况，因为 0 也是偶数)。
只有有奇数个防具的位置有破绽，但是整条防线上也最多只有一个位置有奇数个防具。
作为行动队的队长，lqr 要找到防线的破绽以策划下一步的行动。
但是，由于防具的数量太多，她实在是不能看出哪里有破绽。作为 lqr 可以信任的学弟学妹们，你们要帮助她解决这个问题。
输入格式
输入文件的第一行是一个整数 T，表示有 T 组互相独立的测试数据。
每组数据的第一行是一个整数 N。
之后 N 行，每行三个整数 Si，Ei，Di，代表第 i 组防具的三个参数,数据用空格隔开。
输出格式
对于每组测试数据，如果防线没有破绽，即所有的位置都有偶数个防具，输出一行 "There's no weakness."(不包含引号) 。
否则在一行内输出两个空格分隔的整数 P 和 C，表示在位置 P 有 C 个防具。当然 C 应该是一个奇数。
样例
样例输入
3 2 1 10 1 2 10 1 2 1 10 1 1 10 1 4 1 10 1 4 4 1 1 5 1 6 10 1
样例输出
1 1 There's no weakness. 4 3
数据范围与提示
防具总数不多于108,
Si≤Ei,
1≤T≤5,
N≤200000,
0≤Si，Ei，Di≤231−1
我的见解
这道题需要通过二分寻找答案：
思路
如果防线有问题的话，所有的和加起来就会是一个奇数，否则就一定不是。 我们可以通过二分答案的位置来找到这个位置，然后判断区间[l,mid][l,mid]的总和的奇偶性。若为奇数，则奇数位存在于此区间。反之若为偶数，则一定存在于[mid+1,r][mid+1,r]区间。用这个方法逐步缩小范围即可。 关于查找[l,mid][l,mid]的总和，我们可以用前缀和的思路，用sum[n]−sum[mid−1]sum[n]−sum[mid−1]即可求出。(sum[i]sum[i]为求出ii位置之前所有位置的和)
时间复杂度
设整个数列的最小位置为minnminn 这里，我们枚举每一个等差数列（它的起点为ss，终点为ee，差为dd）。若s<=xs<=x，则两区间存在交集。 则它与[minn,x][minn,x]的共同区间为[s,min(e,x)][s,min(e,x)]。那么此区间包含此数列的个数是⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1。 正确性证明十分容易： 在此区间中存在一段区间，共⌊s,min(e,x)/d⌋∗d⌊s,min(e,x)/d⌋∗d个位置，头尾的位置上都有数字，差为dd，则数字的数量就是⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1。 时间复杂度：O(nlogn)O(nlogn) 二分的时间为O(logn)O(logn)，每次check()check()的时间为O(n)O(n)，故总的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 200000 + 1, INF = 1e9;
int t,n;
struct CJG{
int s,e,d;
}a[N];
int getSum(int x);
bool check(int l,int r);
int main(){
scanf("%d", &t);
while(t--){
scanf("%d", &n);
int maxn = -INF, minn = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%d %d %d", &a[i].s, &a[i].e, &a[i].d);
minn = min(minn,a[i].s);
maxn = max(maxn,a[i].e);
}
if(!(getSum(maxn) & 1)){
printf("There's no weakness.
");
}else{
int l = minn, r = maxn;
while(l <= r){
int mid = (l + r) >> 1;
if(check(l,mid))r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
printf("%d %d
", l, (getSum(l) - getSum(l - 1)));
}
}
return 0;
}
bool check(int l,int r){
return (getSum(r) - getSum(l - 1)) & 1;
}
int getSum(int x){
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(a[i].s <= x)
res += (min(a[i].e, x) - a[i].s)/a[i].d + 1;
return res;
}