二分总结

施工完毕
二分算法是分治中的一种，所谓二分，其实就是将一个较大的问题缩小x区间去求解废话不多说详情请见百度
我个人认为二分有点儿难，主要要将l,r与mid处理好
Knuth(好像 是他发明的KMP 来着）曾经说过

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky

思路很简单，细节是魔鬼。

First二分查找

额，k才开始学习二分时，没弄懂二分查找的 用途 好处，觉得它还是停留在暴力上面。我总结了一下二分查找的关键 福利来了

二分查找的框架

int binarySearch(int[] nums, int target/*指定数 ~~上网找到的单词~~*/) {
 int left = 0, right = ...;//注意 也有可能l不是0！

 while(.../*循环次数，一般l == r就结束了*/) {
     int mid = (right + left) / 2;//找到mid
     if (nums[mid] == target) {//满足条件，跳出循环...
         ...
     } else if (nums[mid] < target) {//小于指定数，调整左边界
         left = ...//跟题目判定是mid+1还是mid
     } else if (nums[mid] > target) {//大于指定数，调整右边界
         right = ...//跟题目判定是mid-1还是mid
     }
 }
 return ...;
}

在找数的例题中，代码也和它相差无几

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意 如果觉得麻烦，可以在函数里添加一个系数n来表示数组长度

    while(left <= right) { // 注意，这是一个闭区间搜索！
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
        }
    return -1;
}

while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
假如如果一不留神，代码溢出了怎么办凉拌 请用 mid = left + (right - left) / 2 ！！

搜索左右边界

左边界

int left_bound(int[] nums, int target) {
 if (nums.length == 0) return -1;
 int left = 0;
 int right = nums.length; // 注意

 while (left < right) { // 注意
     int mid = (left + right) / 2;
     if (nums[mid] == target) {
         right = mid;
     } else if (nums[mid] < target) {
         left = mid + 1;
     } else if (nums[mid] > target) {
         right = mid; // 注意找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左                          // 收缩，达到锁定左侧边界的目的。
     }
 }
 return left;
}

右边界

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;//当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧                          //边界的目的。
        }
    }
    return left - 1; // 注意while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1                       //好了。

last最终总结

第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一