ACM模板几何（多边形）

1.1 几何公式

三角形:

1. 半周长 P=(a+b+c)/2

2. 面积 S=aHa/2=absin(C)/2=sqrt(P(P-a)(P-b)(P-c))

3. 中线 Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2=sqrt(b^2+c^2+2bccos(A))/2

4. 角平分线 Ta=sqrt(bc((b+c)^2-a^2))/(b+c)=2bccos(A/2)/(b+c)

5. 高线 Ha=bsin(C)=csin(B)=sqrt(b^2-((a^2+b^2-c^2)/(2a))^2)

6. 内切圆半径 r=S/P=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)

                    =4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)/P)

                    =Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

7. 外接圆半径 R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/(2sin(C))

四边形:

D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角

1. a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2

2. S=D1D2sin(A)/2

(以下对圆的内接四边形)

3. ac+bd=D1D2

4. S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d)),P为半周长

正n边形:

R为外接圆半径,r为内切圆半径

1. 中心角 A=2PI/n

2. 内角 C=(n-2)PI/n

3. 边长 a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2)

4. 面积 S=nar/2=nr^2tan(A/2)=nR^2sin(A)/2=na^2/(4tan(A/2))

圆:

1. 弧长 l=rA

2. 弦长 a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2)

3. 弓形高 h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=atan(A/4)/2

4. 扇形面积 S1=rl/2=r^2A/2

5. 弓形面积 S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2

棱柱:

1. 体积 V=Ah,A为底面积,h为高

2. 侧面积 S=lp,l为棱长,p为直截面周长

3. 全面积 T=S+2A

棱锥:

1. 体积 V=Ah/3,A为底面积,h为高

(以下对正棱锥)

2. 侧面积 S=lp/2,l为斜高,p为底面周长

3. 全面积 T=S+A

棱台:

1. 体积 V=(A1+A2+sqrt(A1A2))h/3,A1.A2为上下底面积,h为高

(以下为正棱台)

2. 侧面积 S=(p1+p2)l/2,p1.p2为上下底面周长,l为斜高

3. 全面积 T=S+A1+A2

圆柱:

1. 侧面积 S=2PIrh

2. 全面积 T=2PIr(h+r)

3. 体积 V=PIr^2h

圆锥:

1. 母线 l=sqrt(h^2+r^2)

2. 侧面积 S=PIrl

3. 全面积 T=PIr(l+r)

4. 体积 V=PIr^2h/3

圆台:

1. 母线 l=sqrt(h^2+(r1-r2)^2)

2. 侧面积 S=PI(r1+r2)l

3. 全面积 T=PIr1(l+r1)+PIr2(l+r2)

4. 体积 V=PI(r1^2+r2^2+r1r2)h/3

球:

1. 全面积 T=4PIr^2

2. 体积 V=4PIr^3/3

球台:

1. 侧面积 S=2PIrh

2. 全面积 T=PI(2rh+r1^2+r2^2)

3. 体积 V=PIh(3(r1^2+r2^2)+h^2)/6

球扇形:

1. 全面积 T=PIr(2h+r0),h为球冠高,r0为球冠底面半径

2. 体积 V=2PIr^2h/3

1.2  多边形

#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define MAXN 1000
#define offset 10000
#define eps 1e-8
#define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps)
#define _sign(x) ((x)>eps?1:((x)<-eps?2:0))
struct point{double x,y;};
struct line{point a,b;};

double xmult(point p1,point p2,point p0){
	return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}

//判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,允许相邻边共线
int is_convex(int n,point* p){
	int i,s[3]={1,1,1};
	for (i=0;i<n&&s[1]|s[2];i++)
		s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],p[(i+2)%n],p[i]))]=0;
	return s[1]|s[2];
}

//判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,不允许相邻边共线
int is_convex_v2(int n,point* p){
	int i,s[3]={1,1,1};
	for (i=0;i<n&&s[0]&&s[1]|s[2];i++)
		s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],p[(i+2)%n],p[i]))]=0;
	return s[0]&&s[1]|s[2];
}

//判点在凸多边形内或多边形边上,顶点按顺时针或逆时针给出
int inside_convex(point q,int n,point* p){
	int i,s[3]={1,1,1};
	for (i=0;i<n&&s[1]|s[2];i++)
		s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],q,p[i]))]=0;
	return s[1]|s[2];
}

//判点在凸多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,在多边形边上返回0
int inside_convex_v2(point q,int n,point* p){
	int i,s[3]={1,1,1};
	for (i=0;i<n&&s[0]&&s[1]|s[2];i++)
		s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],q,p[i]))]=0;
	return s[0]&&s[1]|s[2];
}

//判点在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出
//on_edge表示点在多边形边上时的返回值,offset为多边形坐标上限
int inside_polygon(point q,int n,point* p,int on_edge=1){
	point q2;
	int i=0,count;
	while (i<n)
		for (count=i=0,q2.x=rand()+offset,q2.y=rand()+offset;i<n;i++)
			if (zero(xmult(q,p[i],p[(i+1)%n]))&&(p[i].x-q.x)*(p[(i+1)%n].x-q.x)<eps&&(p[i].y-q.y)*(p[(i+1)%n].y-q.y)<eps)
				return on_edge;
			else if (zero(xmult(q,q2,p[i])))
				break;
			else if (xmult(q,p[i],q2)*xmult(q,p[(i+1)%n],q2)<-eps&&xmult(p[i],q,p[(i+1)%n])*xmult(p[i],q2,p[(i+1)%n])<-eps)
				count++;
	return count&1;
}

inline int opposite_side(point p1,point p2,point l1,point l2){
	return xmult(l1,p1,l2)*xmult(l1,p2,l2)<-eps;
}

inline int dot_online_in(point p,point l1,point l2){
	return zero(xmult(p,l1,l2))&&(l1.x-p.x)*(l2.x-p.x)<eps&&(l1.y-p.y)*(l2.y-p.y)<eps;
}

//判线段在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,与边界相交返回1
int inside_polygon(point l1,point l2,int n,point* p){
	point t[MAXN],tt;
	int i,j,k=0;
	if (!inside_polygon(l1,n,p)||!inside_polygon(l2,n,p))
		return 0;
	for (i=0;i<n;i++)
		if (opposite_side(l1,l2,p[i],p[(i+1)%n])&&opposite_side(p[i],p[(i+1)%n],l1,l2))
			return 0;
		else if (dot_online_in(l1,p[i],p[(i+1)%n]))
			t[k++]=l1;
		else if (dot_online_in(l2,p[i],p[(i+1)%n]))
			t[k++]=l2;
		else if (dot_online_in(p[i],l1,l2))
			t[k++]=p[i];
	for (i=0;i<k;i++)
		for (j=i+1;j<k;j++){
			tt.x=(t[i].x+t[j].x)/2;
			tt.y=(t[i].y+t[j].y)/2;
			if (!inside_polygon(tt,n,p))
				return 0;			
		}
	return 1;
}

point intersection(line u,line v){
	point ret=u.a;
	double t=((u.a.x-v.a.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.a.x-v.b.x))
			/((u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.a.x-v.b.x));
	ret.x+=(u.b.x-u.a.x)*t;
	ret.y+=(u.b.y-u.a.y)*t;
	return ret;
}

point barycenter(point a,point b,point c){
	line u,v;
	u.a.x=(a.x+b.x)/2;
	u.a.y=(a.y+b.y)/2;
	u.b=c;
	v.a.x=(a.x+c.x)/2;
	v.a.y=(a.y+c.y)/2;
	v.b=b;
	return intersection(u,v);
}

//多边形重心
point barycenter(int n,point* p){
	point ret,t;
	double t1=0,t2;
	int i;
	ret.x=ret.y=0;
	for (i=1;i<n-1;i++)
		if (fabs(t2=xmult(p[0],p[i],p[i+1]))>eps){
			t=barycenter(p[0],p[i],p[i+1]);
			ret.x+=t.x*t2;
			ret.y+=t.y*t2;
			t1+=t2;
		}
	if (fabs(t1)>eps)
		ret.x/=t1,ret.y/=t1;
	return ret;
}