• 对梯度概念的直观理解


    一滴水,沿着玻璃往下滚动,轨迹就是梯度的反方向。
     
    我们先来玩一个游戏,假如你在一座山上,蒙着眼睛,但是你必须到达山谷中最低点的湖泊,你该怎么办?

    梯度可以帮助你完成这个游戏。

    梯度和方向导数紧密相关,让我们从方向导数开始。

    1. 方向导数

    ---------------------------------------------------------

    顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。

    什么是方向:

    函数f(x,y)在这个方向上的图像:

    我们知道:

    函数f(x,y)A点在这个方向上也是有切线的,其切线的斜率就是方向导数:

    我之前在什么是全导数、偏导数、方向导数?这个回答中,已经全面回答过什么是方向导数了。感兴趣可以看看。

    2. 梯度

    --------------------------------------------------------- 

    很显然,A点不止一个方向,而是360^{circ}都有方向:

    每个方向都是有方向导数的:

    这就引出了梯度的定义:

    梯度:是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。

    定义出来了,并不复杂,但对于我而言这才是开始,因为我还有两个疑问:
    • 为什么所有方向导数中会存在并且只存在一个最大值?而不是有多个最大值、或者说没有最大值?
    • 这个最大值在哪个方向取得?值是多少?

     2.1 为什么所有方向导数中会存在并且只存在一个最大值?

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