传送门
前言
对于换根的理解应该和其他题解不一样，求过。
题解
首先分析题目简化题意：给定一棵树，从里面选出若干个“三连点”的边，使边权和最大。其中“三连边”有如下图两种形态：(3-1-2) 和 (3-5-6)
（图源：tommymio）
一开始我想到一种 DP：(dp(u,0/1/2)) 表示 (u) 节点的子树内可以向下延伸的边数为 (0/1/2) 时的最大值，希望通过类似容斥解决形如 (3-1-2) 的情况，但实际不太可行（也可能只是我没做出来）。
换一种思路，(dp(u,0/1)) 表示 (u) 是/不是蓝线中点时，子树内答案的最大值。
- 如果 (u) 不是中点，那对于一个儿子 (v)，(v) 可以是中点也可以不是中点，就有转移式：(dp(u,0)=max{dp(v,1)+w,dp(v,0)})
- 如果 (u) 是中点，其实是对于它的一个儿子，(u) 是中点，进行“(u) 是中点”的转移，即 (dp(v,0)+w)；但是对于其他儿子 (u) 依旧不是中点，所以转移同上。综合一下就是 (dp(u,1)=dp(u,0)+max{dp(v,0)+w-max{dp(v,1)+w,dp(v,0)}})。
换根！
但是这样做只考虑了竖着的“三连点”，可以发现通过不断换根的位置，可以使树里所有 (3-1-2) 形态的选法都变成竖着的。
不能枚举根，所以考虑换根。
记录 (up(u,0/1)) 表示 (u) 是/不是蓝线中点时，子树外答案的最大值。（换根 DP 都这么设，我这里的子树外是指刨去子树的其他部分）。
先看图：
考虑当前从点 (u) 向下走到儿子 (v)，更新 (up(v,0/1))，显然是从红色部分和蓝色部分来更新。其中蓝色部分是和 (up(u)) 有关，红色部分是和 (dp(u),dp(v)) 有关。
- 对于红色部分，相当于从 (dp(u)) 里撤销 (v) 子树的贡献，根据前面的转移可以发现贡献是 (dp(u,0)-max{dp(v,0),dp(v,1)+w})。注意这里先用 (u) 不是中点的情况转移，因为 (u) 是中点的情况只是相当于多选了一个儿子与他相连（换根相当于此时把 (v) 看成根）。
现在考虑加上 (u) 是中点的情况，此时应该从红色部分里面选出当初转移加上的 (max{dp(v,0)+w-max{dp(v,1)+w,dp(v,0)}})，然而此时子树 (v) 已经被删掉，所以最大值可能不存在，所以在第一个 DFS 转移时应该同时记录转移加上的最大值和次大值，同时原来的父亲 (u) 也可以向 (v) 进行中点的连边转移，而这个贡献是 (up(u,1)-up(u,0))。 - 对于蓝色部分，比较简单，贡献就是 (up(u,0)+trans)。其中 (trans) 为转移变量。具体地，看下面的总转移式。
总转移式（太复杂就贴在代码块里了）：
up[v][0]=dp[u][0]-max(dp[u][0],dp[u][1]+w)+up[u][0]+max(0ll,trans+w);
up[v][1]=dp[u][0]-max(dp[u][0],dp[u][1]+w)+up[u][0]+w;
稍微解释一下为什么可以都从 (u) 不作为中点（即第二维为 (0)）的情况转移，因为 (max{0,trans+w}>0) 就意味着从 (up(u,1)) 或者x一个其他的儿子 (v) 的 (dp(v,1)) 转移过来。
最后有一点细节要注意，对于叶子节点作为中点的情况初始化赋值成极小值，表示不合法方案。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ll long long
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 2e5+10;
inline ll read()
{
ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
while(!(c>='0'&&c<='9')) ch=c,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
return ch=='-'?-ret:ret;
}
int n,ecnt=-1,head[N];
inline void init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
ecnt=-1;
}
struct edge
{
int nxt,to,w;
}a[N<<1];
inline void add_edge(const int x,const int y,const int w)
{
a[++ecnt]=(edge){head[x],y,w};
head[x]=ecnt;
}
int dp[N][2],up[N][2];
int f[N][2],hson[N];
void dfs1(const int u,const int fa)
{
int maxn=-2e9,cnt_son=0;
for(int i=head[u];~i;i=a[i].nxt)
{
int v=a[i].to;
if(v==fa) continue;
cnt_son++;
dfs1(v,u);
int tmp=max(dp[v][0],dp[v][1]+a[i].w);
int trans=dp[v][0]+a[i].w-max(dp[v][0],dp[v][1]+a[i].w);
dp[u][0]+=tmp;
if(maxn<trans)
{
f[u][1]=maxn;
hson[u]=v;
maxn=trans;
}
else f[u][1]=max(f[u][1],trans);
}
dp[u][1]=dp[u][0]+maxn;
if(!cnt_son) dp[u][1]=-2e9;//特判叶子为不合法
f[u][0]=maxn;//由于这里的赋值，maxn要初始化成-INF而不能是0，用来表示这种转移不合法
}
void dfs2(const int u,const int fa)
{
for(int i=head[u];~i;i=a[i].nxt)
{
int v=a[i].to;
if(v==fa) continue;
int trans=up[u][1]-up[u][0];//trans是什么意思？下面为什么取max？
//A:相当于多了一个父亲连边的情况，和原来儿子连边的情况取max，为下面转移做准备
if(hson[u]==v) trans=max(trans,f[u][1]);
else trans=max(trans,f[u][0]);
int tmp=max(dp[v][0],dp[v][1]+a[i].w);
up[v][0]=dp[u][0]-tmp+up[u][0]+max(0ll,trans+a[i].w);
up[v][1]=dp[u][0]-tmp+up[u][0]+a[i].w;
dfs2(v,u);
}
}
signed main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
n=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u=read(),v=read(),w=read();
add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);
}
dfs1(1,-1);
up[1][0]=0,up[1][1]=-2e9;//特判叶子为不合法
dfs2(1,-1);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,max(dp[i][0]+up[i][0],dp[i][1]+up[i][1]));
printf("%lld
",ans);
return 0;
}