Dynamic Programming 基本介绍
Dynamic Programming是五大常用算法策略之一，简称DP，译作中文是“动态规划”，可就是这个听起来高大上的翻译坑苦了无数人，因为看完这个算法你可能会觉得和动态规划根本没太大关系，它对“动态”和“规划”都没有太深的体现。
举个最简单的例子去先浅显的理解它，有个大概的雏形，找一个数组中的最大元素，如果只有一个元素，那就是它，再往数组里面加元素，递推关系就是，当你知道当前最大的元素，只需要拿当前最大元素和新加入的进行比较，较大的就是数组中最大的，这就是典型的DP策略，将小问题的解保存起来，解决大问题的时候就可以直接使用。
Fibonacci 斐波拉契数列动态规划实现
第一个数是1，第二个数也是1，从第三个数开始，后面每个数都等于前两个数之和。要求：输入一个n，输出第n个斐波那契数。
还是我们上节讨论递归与分治策略时候举的第一个例子——Fibonacci数列问题，它实在太经典了，所以将其反复拿出来说。
我们如果深入分析一下上节说过的递归方法解决Fibonacci数列，就会发现出现了很多重复运算，比如你在计算f(5)的时候，你要计算f(4)和f(3),计算f(4)又要计算(3)和f(2),计算f(3)，又要计算f(2)和f(1),看下面这个图
对f(3)和f(2)进行了重复运算，这还是因为5比较小，如果要计算f(100),那你可能要等到天荒地老它还没执行完
public static int simFibonacci(int n) {
if (n == 1) return 1;
else if (n == 2) return 1;
else return simFibonacci(n - 1) + simFibonacci(n - 2);
}上面就是递归的解法，代码看着很简单易懂，但是算法复杂度已经达到了O(2^n),指数级别的复杂度，再加上如果n较大会造成更大的栈内存开销，所以非常低效。
DP策略解决这个问题
我们知道导致这个算法低效的根本原因就是递归栈内存开销大，对越小的数要重复计算的次数越多，那既然我们已经将较小的数，诸如f(2),f(3)……这些计算过了，为什么还要重复计算呢，这时就用到了DP策略，将计算过的f(n)保存起来。我们看看代码：
//使用数组记录前100个斐波那契数
static int[] arr = new int[100];
public static int fibonacci(int n) {
if (n == 1) return 1;
else if (n == 2) return 1;
else {
if (n <= 100 && arr[n] != 0) {
return arr[n];
} else {
arr[n] = simFibonacci(n - 1) + simFibonacci(n - 2);
return arr[n];
}
}
}arr数组初始化为0，arr[i]就表示f(i),每次先判断arr[i]是否为0，如果为0则表示未计算过，则递归计算，如果不为0，则表示已经计算过，那就直接返回。
这样的好处避免了很大程度上重复的计算，但是对栈内存的开销虽然有减小但还不是很显著，因为只要有递归，栈内存就免不了有较大开销。所以针对Fibonacci数列我们还有一个递推的方式来计算，其实这也符合DP策略的思想，都是将计算过的值保存起来。
动态规划解题步骤
1、确定状态
简单的说，就是解动态规划时需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似解数学题中，xyz代表什么一样，具体分为下面两个步骤：
-------研究最优策略的最后一步
-------化为子问题
2、转移方程
根据子问题定义直接得到
3、初始条件和边界情况
初始条件一般都是a[0]、a[1]这种，多看看
边界条件主要是看数组的边界，数组越不越界
4、计算顺序
利用之前的计算结果