算法题解之二分法

Count Complete Tree Nodes          

完全二叉树的节点数

思路：这道题使用暴力法为O(n)会超时。使用二分的思想，首先求出左右子树的深度，如果它们的深度相同，则说明左子树为满树，它的节点数可由公式2^h-1求得；如果不相同，说明右子树为满树，同样可用公式求得它的节点数。然后再递归的去求另一个子树。时间复杂度为O(lgn * lgn)。

这道题的一个优化方法是：每次递归函数都要求2^h，如果调用Math.pow(2, h)会很慢，因此用1<<h来求2^h就能AC了。

public class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int left_h = 0;
        int right_h = 0;
        TreeNode cur = root.left;
        while (cur != null) {
            cur = cur.left;
            left_h++;
        }
        cur = root.right;
        while (cur != null) {
            cur = cur.left;
            right_h++;
        }
        
        if (left_h != right_h) {
            return (1 << right_h) + countNodes(root.left);
        } else {
            return (1 << left_h) + countNodes(root.right);
        }
        
    }
}

 

Divide Two Integers

两个整数相除

思路：将除数不断乘2（左移1位），直到大于被除数，此时的余数作为被除数继续除以除数，直到满足除数大于余数。排除-2147483649/-1和除数为0这两种溢出情况，其余均转化为long类型来做。

public class Solution {
    public int divide(int dividend, int divisor) {
        if (divisor==0 || (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1)) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        long result = 0;
        long dd = Math.abs((long)dividend);
        long dr = Math.abs((long)divisor);
            
        while (dd >= dr) {
            long tmp = dr;
            long re = 1;
            while (dd >= tmp) {
                tmp <<= 1;
                re <<= 1;
            }
            tmp = tmp >> 1;
            re = re >> 1;
            dd = dd - tmp;
            result = result + re;
        }    
        
        if ((dividend > 0 && divisor<0) || (dividend < 0 && divisor > 0))
            return (int)(-result);
        
        return (int)result;
    }
}

 

Factorial Trailing Zeroes

阶乘结果末尾0的个数

思路：末尾的0只可能由2*5产生，考虑乘式可以分解为a个2和b个5相乘，a和b的最小值就是末尾0的个数。

　　　2的个数 = 所有因子中能被2整除的个数 + 所有因子中能被4整除的个数 + 所有因子中能被8整除的个数······

　　　5的个数 = 所有因子中能被5整除的个数 + 所有因子中能被25整除的个数 + 所有因子中能被125整除的个数······

public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        long twobase = 2;
        long fivebase = 5;
        long twoNum = 0;
        long fiveNum = 0;
        while (twobase <= n) {
            twoNum += n / twobase;
            twobase *= 2;
        }
        while (fivebase <= n) {
            fiveNum += n / fivebase;
            fivebase *= 5;
        }
        
        return (int)Math.min(twoNum, fiveNum);
    }
}

H-Index II

H指数II

思路：本题是H-indexI的follow up。如I中分析，当数组是升序时，要找到第一个满足citations[i] >= N - i的元素，想到用二分search。

public class Solution {
    public int hIndex(int[] citations) {
        if (citations == null || citations.length == 0) {
            return 0;
        }
        int N = citations.length;
        int start = 0;
        int end = N - 1;
        while (start + 1 < end) {
            int mid = (start + end) / 2;
            if (citations[mid] >= N - mid) {
                end = mid;
            } else {
                start = mid;
            }
        }
        if (citations[start] >= N - start) {
            return N - start;
        }
        if (citations[end] >= N - end) {
            return N - end;
        }
        return 0;
    }
}

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

找二维排序数组中第k小的元素

思路1：用堆。先把第一行加到堆中，然后每弹出一个元素，就把它下面那个元素加到堆中。时间复杂度是O(klgn)。

public class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {

        int n = matrix.length;
        PriorityQueue<Element> q = new PriorityQueue<Element>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            q.offer(new Element(0, i, matrix[0][i]));
        }
        for (int i = 1; i < k; i++) {
            Element cur = q.poll();
            if (cur.x < n - 1) {
                q.offer(new Element(cur.x + 1, cur.y, matrix[cur.x + 1][cur.y]));
            }
        }
        
        return q.poll().val;
    }
}

class Element implements Comparable<Element> {
    int x, y, val;
    Element(int x, int y, int val) {
        this.x = x;
        this.y = y;
        this.val = val;
    }
    public int compareTo(Element e) {
        return val - e.val;
    }
}

思路2：二分法。要查找的范围是m~n，m是矩阵左上角的数，n是矩阵右下角的数。对于m和n的中间数mid，计算矩阵中小于mid的数的个数是count。如果count < k，则mid左边的数一定不会是要找的第K个数（这里可以用反证法），因此丢弃mid左边；如果count >= k，同样丢弃mid的右边。最后剩下两个数。

这里计算矩阵中小于num的数的个数使用的方法lowerCountInMatrix（），与seach a 2D matrixII一样，即从右上角开始。

时间复杂度是O(nlgX)，X是矩阵中最大数与最小数的差值。

public class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int start = matrix[0][0];
        int end = matrix[matrix.length - 1][matrix.length - 1];
        while (start + 1 < end) {
            int mid = (end - start) / 2 + start;
            int count = lowerCountInMatrix(mid, matrix);
            if (count < k) {
                start = mid;
            } else {
                end = mid;
            }
        }
        
        int start_count = lowerCountInMatrix(start, matrix);
        int end_count = lowerCountInMatrix(end, matrix);
        
        if (end_count >= k) {
            return start;
        }
        return end;
    }
    
    public int lowerCountInMatrix(int num, int[][] matrix) {
        int count = 0;
        int i = 0, j = matrix.length - 1;
            
        while (i < matrix.length && j >= 0) {
            if (matrix[i][j] < num) {
                count += j + 1;
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return count;
    }
}

Search a 2D Matrix II

搜索2维矩阵II

思路：本题思想跟二分法类似（但不是二分），即每次根据判断丢弃掉一些范围，将搜索范围缩小。方法是：选取右上角的数作为起点，如果大于target，则丢弃它所在的列；如果小于target，则丢弃掉它所在的行；如果等于target，则计数加1并同时丢弃所在行和列。当右上角超出矩阵范围时结束算法。

public class Solution {
    /**
     * @param matrix: A list of lists of integers
     * @param: A number you want to search in the matrix
     * @return: An integer indicate the occurrence of target in the given matrix
     */
    public int searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        // write your code here
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return 0;
        }
        if (matrix[0] == null || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        int i = 0;
        int j = n - 1;
        int count = 0;
        while (i < m && j >= 0) {
            if (matrix[i][j] > target) {
                j--;
            } else if (matrix[i][j] < target) {
                i++;
            } else {
                count++;
                i++;
                j--;
            }
        }
        return count;
    }
}