题解 P2619 【[国家集训队2]Tree I】

题目链接

推荐FlashHu的博客，用导数来理解(wqs)二分真的太妙啦，也解释为啥必须是凸函数才能用(wqs)二分

还有Creeper_LKF的数形结合的博客

Solution Tree I

题目大意：每条有黑白颜色，求恰好选择(need)条白色边条件下的最小生成树

(wqs)二分

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分析：设(g(x))为恰好选(x)条白边的最小生成树权值和，那么经过打表我们可以猜想证明出(g)是一个下凸函数（其实可以(dp)的……）

然后我们就可以用(wqs)二分了

这玩意儿通常用来解决有某种限制，每个物品有个权值，钦定必须选(x)个时候的最大/小权值和

要求函数(g)必须是凸函数，这样我们才可以对导函数进行二分

以上凸函数为例，我们要求的是(g)在给定的(m)处的取值，显然我们没法直接算出来（废话，不然干嘛不直接算，雾）

但是我们可以通过贪心 / (dp)等等来求出不考虑限制的时候的最大函数值，顺带求出自变量的值。然后我们看这个函数(g)的导函数(g')，当(g)取到最大值的时候(g')交(x)轴

如果我们把(g(x))加上(kx)的话，不就等价于把导函数向上平移(k)个单位了吗

我们二分(k)，使得导函数交(x)轴于我们期望的(m)，然后这个时候我们就可以求出(g(m))啦

完了？naive

我们加上了(kx)，也就是对(g(m))加上了(km)，记得减掉

此题同理，我们二分一个(k)，对所有白边的权值加上(k)，跑(Kruskal)即可

黑白边同权选白边，然后没必要每次都做快排，可以黑白边分开然后每次跑归并排序，这样可以省下一个(log)的复杂度

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 100;
inline int read(){
	int x = 0;char c = getchar();
	while(!isdigit(c))c = getchar();
	while(isdigit(c))x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
	return x;
}
struct Edge{
	int from,to,dist,col;
}Edges[maxn],black[maxn],white[maxn];
int f[maxn],n,m,need,sz,black_siz,white_siz;
inline void init(){
	for(int i = 1;i <= n;i++)f[i] = i;
	sz = n;
}
inline int find(int x){
	return (x == f[x]) ? x : f[x] = find(f[x]);
}
inline void merge(int a,int b){
	int x = find(a),y = find(b);
	if(x != y){
		sz--;
		f[x] = y;
	}
}
inline int kruskal(int delta){
	int res = 0,posa = 1,posb = 1,tot = 0;
	while(posa <= white_siz && posb <= black_siz)
		if(white[posa].dist + delta <= black[posb].dist)Edges[++tot] = white[posa++],Edges[tot].dist += delta;
		else Edges[++tot] = black[posb++];
	while(posa <= white_siz)Edges[++tot] = white[posa++],Edges[tot].dist += delta;;
	while(posb <= black_siz)Edges[++tot] = black[posb++];
	init();
	for(int i = 1;i <= m && sz != 1;i++){
		const Edge &e = Edges[i];
		if(find(e.from) != find(e.to))res += !e.col;
		merge(e.from,e.to);
	}
	return res;
}
int main(){
	n = read(),m = read(),need = read();
	for(int u,v,w,c,i = 1;i <= m;i++){
		u = read() + 1,v = read() + 1,w = read(),c = read();
		if(c == 0)white[++white_siz] = Edge{u,v,w,c};
		else black[++black_siz] = Edge{u,v,w,c};
	}
	sort(white + 1,white + 1 + white_siz,[](const Edge &a,const Edge &b){return a.dist < b.dist;});
	sort(black + 1,black + 1 + black_siz,[](const Edge &a,const Edge &b){return a.dist < b.dist;});
	int l = -111,r = 111,ans = 233;
	while(l <= r){
		int mid = (l + r) >> 1,tmp = kruskal(mid);
		if(tmp < need)r = mid - 1;
		else ans = mid,l = mid + 1;
	}
	if(ans == 233)abort();
	int posa = 1,posb = 1,tot = 0;
	while(posa <= white_siz && posb <= black_siz)
		if(white[posa].dist + ans <= black[posb].dist)Edges[++tot] = white[posa++],Edges[tot].dist += ans;
		else Edges[++tot] = black[posb++];
	while(posa <= white_siz)Edges[++tot] = white[posa++],Edges[tot].dist += ans;
	while(posb <= black_siz)Edges[++tot] = black[posb++];
	init();
	ans *= -need;
	for(int i = 1;i <= m && sz != 1;i++){
		const Edge &e = Edges[i];
		if(find(e.from) != find(e.to))ans += e.dist;
		merge(e.from,e.to);
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}