随机事件及其概率
排列组合
基本公式
[A_{n}^{m} =n(n-1)...(n-m+1)= frac{n!}{(n-m)!}
]
[C_{n}^{m} = frac{A_{n}^{m}}{m!} = frac{n!}{m!(n-m)!}
]
[C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}
]
计算方法
加法原理（分类计数法）
乘法原理（分步计数法）
例题
例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？
[A_{5}^{5}*A_{2}^{2} =240
]
方法：捆绑法
例2.要排一张有6个歌唱和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少种不同的排法？
[A_{6}^{6}*C_{7}^{4}*C_{7}^{4} = A_{6}^{6}*A_{7}^{4}
]
方法：插空法
例3.将8个完全相同的球放进3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，一共有多少种放法？
[C_{7}^{2} =21
]
方法：插板法
例4.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有几种？
[C_{4}^{2}*A_{4}^{3}
]
方法：捆绑法
随机事件及其运算
运算思想
事件的运算 就是 集合的运算 就是 四则运算
等可能概型（古典概型）
例题
例1. 30人中至少有两人生日相同的概率？
[P(A) = 1 - P(overline{A}) = 1 - frac{C_{365}^{30}*A_{30}^{30}}{365*365*...365}
]
例2. 从5双不同的鞋子中任取4只，求其中至少两只配成一对的概率？
[P(A) = 1 - P(overline{A}) = 1 - frac{C_{5}^{4}*C_{2}^{1}*C_{2}^{1}*C_{2}^{1}*C_{2}^{1}}{C_{10}^{4}}
]
例3. 设一个袋中有7个球，4个白球，3个黑球，求下列问题：从中一次性取4个球，求恰好取到3个白球的概率？
[P(A) = frac{C_{4}^{3}*C_{3}^{1}}{C_{7}^{4}}
]
条件概率 和 乘法公式
条件概率
前提$$P(A)>0$$则
[P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)}
]
乘法公式
[P(AB) = P(B|A)P(A) = P(B|A)P(A)
]
[P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)
]
全概率公式
已知不同的原因，求结果的概率
全概率公式
[P(A) = P(A|B_{1})P(B_{1}) + P(A|B_{2})P(B_{2}) + ... + + P(A|B_{n})P(B_{n})
]
很多情况下，划分只包含两部分，也就是
[B和overline{B}
]
这样可以得到
全概率公式：
[P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|overline{B})P(overline{B})
]
贝叶斯公式
结果已知，求各个原因的概率
贝叶斯公式
[P(B_{i}|A) = frac{P(B_{i}A)}{P(A)} = frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{P(A|B_{1})P(B_{1}) + P(A|B_{2})P(B_{2}) + ... + P(A|B_{n})P(B_{n})}
]
很多情况下，划分只包含两部分，也就是
[B和overline{B}
]
这样可以得到
贝叶斯公式：
[P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)} = frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|overline{B})P(overline{B})}
]
