动态规划——背包问题

　　背包问题是一类经典的动态规划问题，本节只介绍两类最简单的背包问题：01 背包问题和完全背包问题。

一、多阶段动态规划问题

　　有一类动态规划可解的问题，它可以描述成若干个有序的阶段，且每个阶段的状态只和上一阶段的状态有关，一般把这类问题称为多阶段动态规划问题。如下图所示，该问题被分为 5 个阶段，其中状态 F 属于阶段 3，它由状态 2 的状态 C 和状态 D 推得。01 背包问题就是这样一个例子。

　　　　

 

二、01 背包问题

　　01 背包问题是这样的：

　　下面介绍动态规划的方法。

　　令 dp[i][v] 表示前 i 件物品 (1≤i≤n, 0≤v≤V) 恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。考虑对第 i 件物品的选择策略，有两种策略：

1. 1.  不妨第 i 件物品，那么问题转化为前 i-1 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得最大价值，也即 dp[i-1][v]。
   2.  放第 i 件物品，那么问题转化为前 i-1 件物品恰好装入容量为 v-w[i] 的背包中所能获得的最大价值，也即 dp[i-1][v-w[i]] + c[i]。

　　由此可以写出状态转移方程：　　

　　　　　　　　　　$dp[i][v]=maxleft { dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+c[i] ight }$　

　　　　　　　　　　　　　　　　$1leqslant ileqslant n,w[i]leqslant vleqslant V$

　　注意到 dp[i][v] 只与之前的状态 dp[i-1][] 有关，所以可以枚举 i 从 1 到 n ，v 从 0 到 V，通过边界 dp[0][v]（0≤v≤V）（即前 0 件物品放入任何容量 v 的背包中都只能获得价值 0）就可以把整个 dp 数组递推出来。而由于 dp[i][v] 表示的是恰好为 v 的情况，所以需要枚举 dp[n][v]（0≤v≤V），取最大值才是最后的结果。

　　代码如下：

int i, v;
for(i=1; i<=n; ++i) {
    for(v=w[i]; v<=V; ++v) {
        dp[i][v] = max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+c[i]);
    }
} 

　　此时时间复杂度和空间复杂度都为 O(nV)，空间复杂度还可以再优化。

　　注意到状态转移方程中计算 dp[i][v] 时总是只需要 dp[i-1][v] 左侧部分的数据，因此可以直接开一个一维数组 dp[v]，枚举方向改变为 i 从 1 到 n， v 从 V 到 0（逆序！），这样状态转移方程为：

　　　　　　　　　　$dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])$

　　　　　　　　　　　　$1leqslant ileqslant n,w[i]leqslant vleqslant V$

　　代码如下：

int i, v;
// 滚动数组形式
for(i=1; i<=n; ++i) {
    for(v=V; v >= w[i]; --v) {        // 逆序枚举 v 
        dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
    }
}

　　特别说明：如果用二维数组存放，v 的枚举是顺序还是逆序都无所谓；如果使用一维数组存放，则 v 的枚举必须是逆序！

　　完整的求解 01背包问题的代码如下：

/*
    01背包问题 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 100
#define maxv 1000 
int w[maxn], c[maxn], dp[maxv];

// 求较大值 
int max(int a, int b) {
    return (a>b ? a : b);
}

int main() {
    int i, v, n, V;
    scanf("%d %d", &n, &V);
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        scanf("%d", &w[i]);                // 输入物品重量 
    }
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        scanf("%d", &c[i]);                // 输入物品价值 
    }
    // 边界
    for(v=0; v <= V; ++v) {
        dp[v] = 0;
    } 
    // 状态转移方程 
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        for(v=V; v >= w[i]; --v) {        // 逆序枚举 v 
            dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
        }
    } 
    // 寻找最大值即为答案
    int maxc = 0;
    for(v=0; v<=V; ++v) {
        if(dp[v] >= maxc) {
            maxc = dp[v];
        }
    }
    printf("%d
", maxc);                // 输出 

    return 0;
}

　　另外，01背包中的每个物品都可以看作一个阶段，这个阶段中的状态有 dp[i][0]~dp[i][v]，它们均由上一个阶段的状态得到。事实上，对能够划分阶段的问题来说，都可以尝试把阶段作为状态的一维，这可以使我们更方便地得到无后效性的状态。从中也可以得到这么一个技巧，如果当前设计的状态不满足无后效性，那么不妨把状态进行升维，即增加一维或若干维来表示相应的消息，这样可能就能满足无后效性。

三、完全背包问题

　　完全背包问题的叙述如下：

　　同样令 dp[i][v] 表示前 i 件物品恰好放入容量为 v 的背包中能获得的最大价值。和 01背包问题一样，考虑对第 i 件物品的选择策略，有两种策略：

1. 1.  不放第 i 件物品，那么 dp[i][v] = dp[i-1][v]。
   2.  放第 i 件物品。这里的处理与 01背包问题有所不同，完全背包问题如果选择放第 i 件物品之后并不是转移到 dp[i-1][v-w[i]] 这个状态，而是转移到 dp[i][v-w[i]]，这是因为每种物品可以放任意件，放了第 i 件物品后还可以继续放第 i 件物品，直到第二维的 v-w[i] 无法保持大于等于 0 为止。　　　　

　　因此可以写出状态转移方程：

　　　　　　　　　　　$dp[i][v]=maxleft { dp[i-1][v], dp[i][v-w[i]]+c[i] ight }$

　　　　　　　　　　　　　　$1leqslant ileqslant n,w[i]leqslant vleqslant V$

　　边界：dp[0][v]=0（0≤v≤V）

　　而这个状态转移方程同样可以改写成一维形式，即状态转移方程：

　　　　　　　　　　　$dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])$

　　　　　　　　　　　　　　$1leqslant ileqslant n,w[i]leqslant vleqslant V$

　　边界：dp[v]=0（0≤v≤V）

　　写成一维形式之后和 01背包完全相同，唯一的区别在于这里 v 的枚举顺序是正向枚举，而 01背包的一维形式中 v 必须是逆向枚举。代码如下：

int i, v;
for(i=1; i<=n; ++i) {
    for(v=w[i]; v <= V; ++v) {    // 正向枚举 v 
        dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]]+c[i]);
    }
}