数据结构——并查集

一、并查集的定义

　　并查集是一种维护集合的数据结构，它的名字中“并”“查”“集”分别取自 Union（合并）、Find（查找）、Set（集合）这 3 个单词。也就是说，并查集支持下面两个操纵：

1. 1.  合并：合并两个集合。
   2.  查找：判断两个元素是否在一个集合。　　　　　　

　　并查集的实现就是用一个数组：

int father[N];            // 表示元素的父亲结点 

　　例如 father[1]=2 就表示元素 1 的父亲结点是元素 2。另外，如果 father[i]==i，则说明元素 i 是该集合的根结点，但对同一集合来说只存在一个根结点，且将其作为所属集合的标识。

二、并查集的基本操作

　　总体来说，并查集的使用需要先初始化 father 数组，然后再根据需要进行查找或合并的操作。

　　1. 初始化

　　一开始，每个元素都是独立的一个集合，因此需要令所有 father[i] 等于 i。代码如下：

// 初始化 
void init(int n) {
    int i;
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        father[i] = i;    // 每个元素都是独立的集合 
    }
}

　　2. 查找

　　由于规定同一集合中只存在一个根结点，因此查找操作就是对给定的结点寻找其根结点的过程。实现思路就是，反复寻找父亲结点，直到找到根结点（即 father[i]==i 的结点）。代码如下：

// 对给定的结点寻找其根结点
int findFather(int x) {
    if(x == father[x])    return x;        // 如果找到根结点，则返回根结点编号 x 
    else return findFather(father[x]);    // 否则，递归判断 x 的父亲结点是否是根结点 
} 

　　3. 合并

　　合并是指把两个集合合并成一个集合，题目中一般给出两个元素，要求把这两个元素所在的集合合并。实现步骤如下：

1. 1.  对于给定的两个元素 a、b，判断它们是否属于同一集合。可以调用上面的查找函数，对这两个元素 a、b 分别查找根结点，然后再判断其根结点是否相同。
   2.  合并两个集合：在 1 中已经获得两个元素的根结点 faA 与 faB，因此只需要把其中一个的父结点指向另一个结点。

　　代码如下：

// 把 a,b 所在的集合合并
void Union(int a, int b) {
    int faA = findFather(a);    // 查找 a 的根结点 
    int faB = findFather(b);    // 查找 b 的根结点
    if(faA != faB) {            // 若 a,b 属于不同集合 
        father[faA] = faB;        // 合并它们 
    }
} 

　　　　

三、路径压缩

　　可以在上述 findFather 函数里把当前查询结点的路径上的所有结点的父亲都指向根结点，查找的时候就不需要一直回溯去找父亲了，查询的复杂度可以降为 O(1)。具体步骤如下：

1. 1.  按原先的写法获得 x 的根结点 r。
   2.  重新从 x 开始走一遍寻找根结点的过程，把路径上经过的所有结点的父亲改为根结点 r。

　　代码如下：

int findFather(int x) {
    int a = x;                    // 保存原结点
    while(x != father[x]) {        // 寻找根结点 
        x = father[x];
    } 
    // 重新走一遍寻找根结点的过程 
    while(a != father[a]) {
        int z = a;                // 保存结点 a 
        a = father[a];            // 回溯父亲结点 
        father[z] = x;            // 将所有结点的父亲改为根结点 x 
    } 
    
    return x;                    // 返回根结点 
}

　　下面是一个简单使用并查集的例子。

　　题目截图：

　　

　　思路：

　　需要使用上诉讲的并查集思想，先初始化并查集，然后对输入的每一对好朋友进行合并操作。同时，应设置 isRoot[N] 来记录每个结点是否作为某个集合的根结点，这样当处理完输入数据后就可以累加 isRoot 数组得到集合数目。

　　代码如下:　

/*
    并查集 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define N 102 
int father[N];            // 表示元素的父亲结点 
int isRoot[N] = {0};    // 若为1, 表示为根结点 

// 初始化 
void init(int n) {
    int i;
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        father[i] = i;    // 每个元素都是独立的集合 
        isRoot[i] = 1;    // 标记结点是根结点 
    }
}

/* 
// 对给定的结点寻找其根结点
int findFather(int x) {
    if(x == father[x])    return x;        // 如果找到根结点，则返回根结点编号 x 
    else return findFather(father[x]);    // 否则，递归判断 x 的父亲结点是否是根结点 
} 
*/

int findFather(int x) {
    int a = x;                    // 保存原结点
    while(x != father[x]) {        // 寻找根结点 
        x = father[x];
    } 
    // 重新走一遍寻找根结点的过程 
    while(a != father[a]) {
        int z = a;                // 保存结点 a 
        a = father[a];            // 回溯父亲结点 
        father[z] = x;            // 将所有结点的父亲改为根结点 x 
    } 
    
    return x;                    // 返回根结点 
}

// 把 a,b 所在的集合合并
void Union(int a, int b) {
    int faA = findFather(a);    // 查找 a 的根结点 
    int faB = findFather(b);    // 查找 b 的根结点
    if(faA != faB) {            // 若 a,b 属于不同集合 
        father[faA] = faB;        // 合并它们 
        isRoot[faA] = 0;        // 更新标志 
        isRoot[faB] = 1; 
    }
} 

int main() {
    int n, m, i, a, b; 
    scanf("%d %d", &n, &m);        // 输入数码宝贝的个数和好朋友组数 
    init(n);                    // 初始化并查集 
    for(i=0; i<m; ++i) {
        scanf("%d %d", &a, &b);    // 输入每一对朋友 
        Union(a, b);            // 合并 
    }
    int ans = 0;
    for(i=1; i<=n; ++i) {        // 累加得到集合数目 
        ans += isRoot[i];
    } 
    printf("%d
", ans);        // 按要求输出 

    return 0;
}