数据结构——二叉树

一、二叉树的递归定义　　　　

1.  要么二叉树没有根节点，是一棵空树。
2.  要么二叉树由根节点、左子树、右子树组成，且左子树和右子树都是二叉树。　　 

 

二、二叉树的存储结构

　　一般来说，二叉树使用链表来定义。二叉树每个结点有两条出边，因此指针域有两个——分别指向左子树和右子树的根结点地址，因此右把这种链表叫做二叉链表。其定义方式如下：

#define typename int
// 二叉树结构定义 
struct node {
    typename data;        // 数据域
    node* lchild;        // 指向左子树的根结点
    node* rchild;        // 指向右子树的根结点 
};

　　如果需要新建结点，可以使用下面的函数：

// 生成一个新节点，v为数据 
node* newNode(typename v) {
    node* Node = (node*)malloc(sizeof(node));
    Node->data = v;
    // 初始状态下没有左右子树 
    Node->lchild = Node->rchild = NULL;
    return Node;
} 

三、二叉树的基本操作

　　二叉树的常用操作有以下几个：二叉树的建立、二叉树结点的查找、修改、插入与删除。本节主要介绍查找、修改、插入、建树的通用思想。

　　1. 二叉树结点的查找、修改

　　查找操作是指在给定数据域的条件下，在二叉树中找到所有数据域为给定数据域的结点，并将它们的数据域修改为给定的数据域。　　

　　可以使用递归来完成查找修改操作。先判断当前结点是否是需要查找的结点：如果是，则对其进行修改操作；如果不是，则分别往该结点的左孩子和右孩子递归，直到当前结点为 NULL 为止。代码如下：

// 在根结点为root的二叉树查找所有数据域为x的结点并修改为newdata 
void search(node* root, typename x, typename newdata) {
    if(root == NULL) {
        return;        // 空树 
    }
    if(root->data == x) {    // 查到 x 
        root->data = newdata;    // 修改 
    }
    search(root->lchild, x, newdata);    // 遍历左子树
    search(root->rchild, x, newdata);    // 遍历右子树      
} 

　　2. 二叉树结点的插入

　　二叉树结点的插入位置与二叉树本身的性质有关，下面代码以二叉排序树为例：

// 在以*root为根结点的二叉树插入一个新节点 
void insert(node** root, typename x) {
    if((*root) == NULL) {        // 找到插入位置 
        (*root) = newNode(x);
        return; 
    }
    if(x < (*root)->data) {        // 往左子树插入 
        insert(&((*root)->lchild), x);
    } else {                    // 往右子树插入 
        insert(&((*root)->rchild), x);
    }
}

　　在上述代码中，函数参数使用了二维指针 **。这么做的原因是，在 insert 函数中新建了结点，并把新结点的地址赋给了当层的 root。

　　那么，如何判断是否要加指针呢？一般来说，如果函数中需要新建结点，即对二叉树的结构做出修改，就需要加引用；如果只是修改当前已有结点的内容，或仅仅是遍历树，就不用加指针。

　　3. 二叉树的创建

　　二叉树的创建其实就是二叉树结点的插入过程，比较常用的写法是把需要插入的数据存储在数组中，然后再将它们使用 insert 函数一个个插入二叉树中，并最终返回根结点的指针 root。代码如下：

// 二叉树的建立 
node* create(typename data[], int n) {
    node* root = NULL;        // 新建空根结点 root 
    int i;
    for(i=0; i<n; ++i) {    // 将 data 中的数据插入二叉树 
        insert(&root, data[i]);
    } 
    return root;            // 返回根结点 
} 

　　完整 C 代码如下：

/*
    二叉树 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define typename int
// 二叉树结构定义 
typedef struct _node {
    typename data;        // 数据域
    struct _node* lchild;        // 指向左子树的根结点
    struct _node* rchild;        // 指向右子树的根结点 
} node; 

// 生成一个新节点，v为数据 
node* newNode(typename v) {
    node* Node = (node*)malloc(sizeof(node));
    Node->data = v;
    // 初始状态下没有左右子树 
    Node->lchild = Node->rchild = NULL;
    return Node;
} 

// 在根结点为root的二叉树查找所有数据域为x的结点并修改为newdata 
void search(node* root, typename x, typename newdata) {
    if(root == NULL) {
        return;        // 空树 
    }
    if(root->data == x) {    // 查到 x 
        root->data = newdata;    // 修改 
    }
    search(root->lchild, x, newdata);    // 遍历左子树
    search(root->rchild, x, newdata);    // 遍历右子树      
} 

// 在以*root为根结点的二叉树插入一个新节点 
void insert(node** root, typename x) {
    if((*root) == NULL) {        // 找到插入位置 
        (*root) = newNode(x);
        return; 
    }
    if(x < (*root)->data) {        // 往左子树插入 
        insert(&((*root)->lchild), x);
    } else {                    // 往右子树插入 
        insert(&((*root)->rchild), x);
    }
}

// 二叉树的建立 
node* create(typename data[], int n) {
    node* root = NULL;        // 新建空根结点 root 
    int i;
    for(i=0; i<n; ++i) {    // 将 data 中的数据插入二叉树 
        insert(&root, data[i]);
    } 
    return root;            // 返回根结点 
} 

// 输出二叉树，先序 
void print(node* root) {
    if(root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%d ", root->data);
    print(root->lchild);
    print(root->rchild);
}

int main() {
    int data[5] = {1, 2, 3, 4, 5};
    node* tree = create(data, 5);    // 创建二叉树 
    print(tree);                    // 输出二叉树 
    return 0;
}