数学问题——最大公约数与最小公倍数

1. 最大公约数

　　正整数 a 与 b 的最大公约数是指 a 与 b 的所有公约数中最大的那个公约数，一般用 gcd(a,b) 来表示 a 和 b 的最大公约数，而求解最大公约数常用欧几里得算法（即辗转相除法）。

　　欧几里得算法基于下面这个定理：

　　　　设 a、b 均为正整数，则 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 。

　　利用这个定理可以很快得到结果，只是还需要一个东西：递归边界。众所周知：0 和任意一个整数 a 的最大公约数都是 a（注意：不是0）,这个结论可以作为递归边界。那么递归的两个关键已经得到：

• • 递归式： gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 。
  • 递归边界：gcd(a,0) = a 。

　　于是可以得到下面的求解最大公约数的代码：

// 欧几里得算法求最大公约数 
int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0)    return a;
    else return gcd(b, a%b);
}

　　　　

　　下面来看一个例题。

　　【codeup 1818】最大公约数

　　题目：输入两个正整数，求其最大公约数。

　　思路：直接使用上面的代码即可。

　　代码如下：

/*
    最大公约数 
*/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

// 欧几里得算法求最大公约数 
int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0)    return a;
    else return gcd(b, a%b);
}

int main() {
    int a, b;
    while(scanf("%d%d", &a, &b) != EOF) {
        printf("%d
", gcd(a, b));
    } 

    return 0;
}

2. 最小公倍数

　　正整数 a 与 b 的最小公倍数是指 a 与 b 的所有公倍数中最小的那个公倍数。一般用 lcm(a,b) 来表示 a 和 b 的最小公倍数。

　　最小公倍数的求解在最大公约数的基础上进行的。当得到 a 和 b 的最大公约数 d 之后，可以马上得到 a 和 b 的最小公倍数为 ab / d 。

　　由于 ab 在实际计算时有可能溢出，因此更恰当的写法是 a / d * b 。

　　主要代码如下：

// 求最小公倍数 
int lcm(int a, int b) {
    int d = gcd(a, b);
    return a / d * b;
}