Luogu P3295 [SCOI2016]萌萌哒(并查集+倍增)

P3295 [SCOI2016]萌萌哒

题面

题目描述

一个长度为 (n) 的大数，用 (S_1S_2S_3 cdots S_n) 表示，其中 (S_i) 表示数的第 (i) 位, (S_1) 是数的最高位。告诉你一些限制条件，每个条件表示为四个数， (l_1,r_1,l_2,r_2) ，即两个长度相同的区间，表示子串 (S_{l_1}S_{l_1+1}S_{l_1+2} cdots S_{r_1}) 与 (S_{l_2}S_{l_2+1}S_{l_2+2} cdots S_{r_2}S) 完全相同。

比如 (n=6) 时，某限制条件 (l_1=1,r_1=3,l_2=4,r_2=6) ，那么 (123123) ， (351351) 均满足条件，但是 (12012) ， (131141) 不满足条件，前者数的长度不为 (6) ，后者第二位与第五位不同。问满足以上所有条件的数有多少个。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 (n) 和 (m) ，分别表示大数的长度，以及限制条件的个数。

接下来 (m) 行，对于第 (i) 行,有 (4) 个数 (l_{i1},r_{i1},l_{i2},r_{i2}) ，分别表示该限制条件对应的两个区间。

(1le nle 10^5) ， (1le mle 10^5) ， (1le l_{i1},r_{i1},l_{i2},r_{i2} le n) ；并且保证 (r_{i1}-l_{i1}=r_{i2}-l_{i2}) 。

输出格式：

一个数，表示满足所有条件且长度为n的大数的个数，答案可能很大，因此输出答案模 (10^9+7) 的结果即可。

输入输出样例

输入样例：

4 2
1 2 3 4
3 3 3 3

输出样例：

90

思路

首先想到一个 (O(m imes n^2)) 的 优秀 做法：对于每一位相同的数字，我们可以把它加进一个相同的并查集中，然后就可以按照并查集的个数进行统计。例如，假设右 (R) 个并查集，那么：

[ans=10^{R-1} imes 9 ]

这是因为，每一位上的数字都可在 ([0,9]) 这个区间的十个数中选择，而不能有前导零。

再考虑倍增优化。我们可以把每个区间按照二进制拆分，倍增处理，把每一块加入同一个并查集中。统计答案时先下传并查集到底（有点像线段树的 (pushdown) 操作），最后再对每个长度为 (2^0=1) 的区间进行答案统计，得到最终答案，总时间复杂度为 (O(m imes n log ^2n)) 。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL P=1e9+7;
LL n,m,ans,fa[20][100005];
bool flag;
inline LL read()
{
    LL re=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
inline LL fd(LL x,LL y)
{
    LL r=x;
    while(fa[y][r]!=r) r=fa[y][r];
    LL i=x,j;
    while(i!=r) j=fa[y][i],fa[y][i]=r,i=j;
    return r;
}
inline void merge(LL x,LL y,LL z)
{
    LL fx=fd(x,z),fy=fd(y,z);
    if(fx!=fy) fa[z][fx]=fa[z][fy];
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(LL i=0;i<=17;i++)
        for(LL j=1;j<=n;j++)
            fa[i][j]=j;
    while(m--)
    {
        LL l1=read(),r1=read(),l2=read(),r2=read();
        for(LL i=17;i>=0;i--)
            if(l1+(1<<i)-1<=r1)
            {
                merge(l1,l2,i);
                l1+=(1<<i),l2+=(1<<i);
            }
    }
    for(LL i=17;i;i--)
        for(LL j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
        {
            merge(j,fd(j,i),i-1);
            merge(j+(1<<(i-1)),fa[i][j]+(1<<(i-1)),i-1);
        }
    for(LL i=1;i<=n;i++) if(fd(i,0)==i) ans=flag?ans*10%P:9,flag=true;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}