问题描述
假设你想以最美观的方式布置花店的橱窗。现在你有F束不同品种的花束，同时你也有至少同样数量的花瓶(V>=F)被按顺序摆成一行。这些花瓶的位置固定于架子上，并从1至V顺序编号，V是花瓶的数目，从左至右排列，则最左边的是花瓶1，最右边的是花瓶V。花束可以移动，并且每束花用1至F间的整数唯一标识。标识花束的整数决定了花束在花瓶中的顺序，如果I＜J，则令花束I必须放在花束J左边的花瓶中。
例如，假设一束杜鹃花的标识数为1，一束秋海棠的标识数为2，一束康乃馨的标识数为3，所有的花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即：杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目。则多余的花瓶必须空置，且每个花瓶中只能放一束花.每一个花瓶都具有各自的特点。因此，当各个花瓶中放入不同的花束时，会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数）来表示，空置花瓶的美学值为零。在上述例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，如下表所示。
| 花瓶 | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 花束 | 1(杜鹃花) | 7 | 23 | -5 | -24 | 16 |
| 2(秋海棠) | 5 | 21 | -4 | 10 | 23 | |
| 3(康乃馨) | -21 | 5 | -4 | -20 | 20 | |
根据上表，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看；但若放在花瓶4中则显得十分难看。为取得最佳美学效果，你必须在保持花束顺序的前提下，使花束的摆放取得最大的美学值。如果有不止一种的摆放方式具有最大的美学值，则其中任何一种摆放方式都可以接受，但你只要输出任意一种摆放方式。
问题分析
如果已知那些需要放到花瓶里，那些不需要放。那么再将这些花束按照顺序摆放，找到最优摆放方式。当已知这个花束放不放时，后面就可以用DP思想填表完成。我们用编码的方式表示这束花会不会摆放。0表示不放，1表示放。因为编码的最后一位比较好得到，所以我们先安排最靠右边的花（当这个花需要摆放时），意思就是先填表的最下一行：（初始值）
dp[i][j]=b[i][j],这个花束被放并且在最右边的花瓶中
用dp[i][j]表示第i个花束放在花瓶j中（在(i+1...F)已经放置情况下）的最大值。则状态转移方程:
dp[i][j]=b[i][j]+max {dp[i+1][m],m in (j+1,n),j in(0,n-num)}
然后对于每一个编码重复这个填表过程最终求得最大值
Java代码实现
public static void getMax(int[][] b,int F,int V) {
class Point{
int x;
int y;
public Point(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
}
int n=(1<<F);//获得编码个数
int[][]dp=new int[F][V];
Point[][] p=null;
//Map<Integer,Point[][]> map=new HashMap<Integer,Point[][]>();//保存最优路径，key:编码对应的十进制数
int x=0,mmax=0,ms=0,me=0;//mmax指最大值所有分数中的最大值，ms、me为最大值对应行和列
while(x!=n) {
int num=0,index=0,max=0,temp=x,col=0;//num表示是不是初值，max记录当前编码下的最大值,因为有可能隔行填表,index记录上一次填表的行数，temp表示对x进行移位操作
Point[][]path=new Point[F][V];//保存最优值
for(int i=F-1;i>=0;i--) {
if((temp&1)==1) {//这束花被放
if(num==0)
{
for(int j=0;j<V;j++)
{
dp[i][j]=b[i][j];
if(max<dp[i][j]) {
max=dp[i][j];
col=j;
}
path[i][j]=new Point(-1,-1);
}
}
else
{
for(int j=0;j<V-num;j++) {
int maxx=-1,maxxcol=0;
for(int m=j+1;m<V;m++) {//找到上一次填表中,(j+1)列到最后一列的最大值maxx并且记录最大值的列maxxcol(保存最优解)
if(maxx<b[index][m]) {
maxx=b[index][m];
maxxcol=m;
}
}
dp[i][j]=b[i][j]+maxx;
path[i][j]=new Point(index,maxxcol);
if(max<dp[i][j]) {
max=dp[i][j];
col=j;
}
}
}
index=i;
num++;
}
temp=(temp>>1);//编码进行移位
}
//System.out.println(max);
if(mmax<max) {
mmax=max;
ms=index;
me=col;
p=path;//保存最优路径
}
x++;
}
System.out.println("最大值："+mmax);
Point t=p[ms][me];
System.out.println((1+ms)+"放"+(1+me));
while(t.x!=-1) {
System.out.println((t.x+1)+"放"+(1+t.y));
t=p[t.x][t.y];
}
}
运行结果
