题目链接:https://dwacon5th-prelims.contest.atcoder.jp/tasks/dwacon5th_prelims_e
题目描述:
给定一个大小为(N)的数组(A),记(f(p))为排列(p)的所有环的中的最小值的乘积。记(b_i)为所有形成了(i)个环的排列的(f(p))的和。求(b_1, b_2, ..., b_N)的(GCD)模(998244353).
解题报告:
先将数组排序,然后想到一个和第一类斯特林数DP很类似的一个DP:
[DP[i][j] = DP[i - 1][j - 1] * a_i + DP[i - 1][j] * i
]
答案即为(GCD_{i=1}^N DP[N][i])
记多项式(P_i(t))为(sum_{j=1}^i DP[i][j] cdot t^j)
DP方程可以改写成以下形式:
(P_i(t) = P_{i-1}(t) * (a_i * t + i))
(P_N(t) = prod_{i=1}^N (a_i * t + i))
引理:
记c(P)为多项式P所有系数的GCD。有c(PQ)=c(P)c(Q)。
根据以上引理,有:(c(P_N(t)) = prod_{i=1}^N gcd(a_i, i))