[胡泽聪 趣题选讲]大包子环绕宝藏-[状压dp]

Description

你有一个长方形的地图，每一个格子要么是一个障碍物，要么是一个有一定价值的宝藏，要么是一个炸弹，或者是一块空地。你的初始位置已经给出。
你每次可以走到上、下、左、右这四个相邻的格子。你不允许走出这幅地图，不允许进入有宝藏、障碍物或是炸弹的地方。你需要规划一个闭合的路线（起点和终点都必须在初始位置）来取得宝藏。注意这个路线围成的多边形中不可以包含炸弹。假设路线围成的多边形包含的所有宝藏的价值之和为v,并且你从起点到终点走了 k步（从一个格子走到旁边的格子算作一步），那么你沿该路线走一次将可以获得v-k的利润。

你的任务是规划一个不包含炸弹的闭合路线，并可获得最大的利润。

注意路线可以自交。为了确定一个格子是否在这条路线里面，请使用以下算法判断：
1.假设该点的坐标为需要判断的点为 p(i,j) ，该点不在路线上
2.从该点往任意方向作一条射线，如果与路线相交奇数次，我们就认为这个格子在这条路线里面，否则这个格子在这条路线外面。

n,m<=20。炸弹和宝藏的个数总和不超过8个，保证只有1个初始点。

Solution

本题难点其实就是判断格子是否在路线里面。（题目好良心系列）我选定的射线方向是竖直向上（当然其他方向也ok呀）。

所以，如果画出路径，所有的射线只会和横向路径相交（竖向的路径就直接忽略啦）

对于每一小段横向路径（即点(x,y)到(x,y+1)），我们记录这一小段路径的右端点。如此以保证奇偶性正确。

5 — 4 —3

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6     9     2

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7 — 8 — 1

如图，我们沿1-8寻找回路，则被记录的点有3,4,8,1。

虽然5和7没有被记录到，但这不影响9（多边形内部）和多边形外部的点的判断。

(当然，如果是记录所有横向路径的点也可以，例如记3,4,5,7,8,1;不过这就需要加些特判了）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=21,K=8;
int f[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
int tx[10],ty[10],cnt,k;
int n,m,sx,sy,w[10];
char mp[30][30];
int dp[23][23][1<<K];
int q[21*21*(1<<K)],l,r;
int num(int x,int y,int z){return x*N*(1<<K)+y*(1<<K)+z;}
int getx(int c){return c/(N*(1<<K));}
int gety(int c){return c/(1<<K)%N;}
int getz(int c){return c%(1<<K);}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",mp[i]+1);
        for (int j=1;j<=m;j++) if (mp[i][j]=='S'){mp[i][j]='.';sx=i;sy=j;}
        else if (mp[i][j]>'0'&&mp[i][j]<'9')
        {tx[mp[i][j]-'1']=i;ty[mp[i][j]-'1']=j;cnt++;mp[i][j]='#';}
    }
     
    k=cnt;
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++)
    if (mp[i][j]=='B')
    {mp[i][j]='#';tx[cnt]=i;ty[cnt]=j;cnt++;}
    for (int i=0;i<k;i++) scanf("%d",&w[i]);
     
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[sx][sy][0]=0;
    q[1]=num(sx,sy,0);
    l=r=1;
    int _x,_y,_z,zz;
    while (l<=r)
    {
        _x=getx(q[l]);_y=gety(q[l]);_z=getz(q[l]);l++;
        for (int i=0;i<4;i++)
        {
            if (_x+f[i][0]<=n&&_x+f[i][0]&&_y+f[i][1]&&_y+f[i][1]<=m&&mp[_x+f[i][0]][_y+f[i][1]]=='.')
            {
                zz=_z;
                if (!i) for (int j=0;j<cnt;j++) if (tx[j]>_x&&ty[j]==_y) zz^=1<<j;
                if (i==1)
                    for (int j=0;j<cnt;j++) if (tx[j]>_x+f[i][0]&&ty[j]==_y+f[i][1]) zz^=1<<j;
                if (dp[_x][_y][_z]+1<dp[_x+f[i][0]][_y+f[i][1]][zz])
                {
                    dp[_x+f[i][0]][_y+f[i][1]][zz]=dp[_x][_y][_z]+1;
                    q[++r]=num(_x+f[i][0],_y+f[i][1],zz);
                }
            }
        }
    }
    bool _is;int ans=0,sum,t;
    for (int i=0;i<1<<cnt;i++)
    {
        sum=0;_is=1;
        for (int j=0;j<cnt;j++)
        {
            t=i&(1<<j);
            if (j>=k&&t) _is=0;
            if (j<k&&t) sum+=w[j];
        }
        if (_is) ans=max(ans,sum-dp[sx][sy][i]); 
    }
    cout<<ans;
}