Given an integer array nums, return the length of the longest strictly increasing subsequence.
A subsequence is a sequence that can be derived from an array by deleting some or no elements without changing the order of the remaining elements. For example, [3,6,2,7] is a subsequence of the array [0,3,1,6,2,2,7].
Example 1:
Input: nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] Output: 4 Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.
Example 2:
Input: nums = [0,1,0,3,2,3] Output: 4
Example 3:
Input: nums = [7,7,7,7,7,7,7] Output: 1
Constraints:
1 <= nums.length <= 2500-104 <= nums[i] <= 104
Follow up: Can you come up with an algorithm that runs in O(n log(n)) time complexity?
最长上升子序列。
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
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注意子序列 subsequence 和子串 substring 的不同，子序列 subsequence 是可以断开的，只要相对顺序是上升的即可。这个题有两种做法，一是动态规划，一是动态规划基础上的二分。Longest Increasing Subsequence (LIS) 也是一类常考的题型，我总结在这个tag里了。
首先是动态规划。设 dp[i] 是以 nums[i] 为结尾的子序列的最大长度。首先初始化的时候，dp 数组的每一个元素都是 1，因为如果以当前元素为结尾，不看其他元素的话，子序列最大长度就是 1。
更新 DP 数组的方法是用双指针，用一个指针 i 去遍历 input 的时候，同时设置另一个指针 j 扫描 j - i 的范围，如果在 j - i 的范围中有数字 nums[j] < nums[i]，则 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
最后要找的结果是 DP 数组中的最大值。动图帮助理解。
时间O(n^2)
空间O(n)
Java实现
1 class Solution { 2 public int lengthOfLIS(int[] nums) { 3 int max = 0; 4 int[] dp = new int[nums.length]; 5 // 初始化为1，因为每个以nums[i]结尾的子数组的长度都起码是1 6 Arrays.fill(dp, 1); 7 for (int i = 0; i < nums.length; i++) { 8 for (int j = 0; j < i; j++) { 9 if (nums[j] < nums[i]) { 10 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); 11 } 12 } 13 max = Math.max(max, dp[i]); 14 } 15 return max; 16 } 17 }
DP基础上的二分法。创建一个和 input 等长的 input 数组 DP，这个 DP 数组是我们维护的一个 tails 列表，其中每个元素 tails[k] 的值代表长度为 K + 1 的子序列尾部元素的值。
把第一个数字放入 DP 数组，从第二个数字开始，用二分法去找到这个数字应该被放入的位置。这里的DP数组记录的是实打实的数字，注意最后DP数组中的结果可能并不一定是一个正确的子序列，但是长度是对的。
遍历input，
- 如果遇到的数字比 DP 数组里面最大的数字还要大，就加到DP数组的末端，这也是唯一扩大 DP 数组 size 的办法
- 如果遇到的数字小于 DP 数组中的最大数字，则需要将这个数字通过二分法的方式放到 DP 数组中他该存在的位置，但是只能替换，而不是插入。
- 举个例子，如果你现在有数组[1, 3, 5]，当你遇到一个4的时候，你只有通过把5替换成4，才有可能将数组的最大值变小，从而有机会在数组的最后加入更多的值
时间O(nlogn)
空间O(n)
Java实现
1 class Solution { 2 public int lengthOfLIS(int[] nums) { 3 int[] dp = new int[nums.length]; 4 dp[0] = nums[0]; 5 int len = 0; 6 for (int i = 1; i < nums.length; i++) { 7 int pos = binarySearch(dp, len, nums[i]); 8 if (nums[i] < dp[pos]) { 9 dp[pos] = nums[i]; 10 } 11 if (pos > len) { 12 len = pos; 13 dp[len] = nums[i]; 14 } 15 } 16 return len + 1; 17 } 18 19 private int binarySearch(int[] dp, int len, int val) { 20 int left = 0; 21 int right = len; 22 while (left + 1 < right) { 23 int mid = left + (right - left) / 2; 24 if (dp[mid] == val) { 25 return mid; 26 } else if (dp[mid] < val) { 27 left = mid; 28 } else { 29 right = mid; 30 } 31 } 32 if (dp[right] < val) { 33 return len + 1; 34 } else if (dp[left] >= val) { 35 return left; 36 } else { 37 return right; 38 } 39 } 40 }