[LeetCode] 62. Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Example 1:

Input: m = 3, n = 7
Output: 28

Example 2:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Down -> Down
2. Down -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Down

Example 3:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

Example 4:

Input: m = 3, n = 3
Output: 6

Constraints:

• 1 <= m, n <= 100
• It's guaranteed that the answer will be less than or equal to 2 * 109.

不同路径。

题意是一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start”）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径。

这一题也是DP的基础题，是由递归衍生出来的DP。这一题的DP可以是一维的也可以是二维的。

首先是二维的DP，创建一个二维数组和input数组同样大小，并初始化第一行和第一列，因为到达第一行和第一列的任何一个坐标的最短路径只有一种。对于除了第一行和第一列的其他坐标而言，到达这个坐标的方式有两种，要不然是从左边过来，要不然是从上面过来，所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

时间O(mn)

空间O(mn)

Java实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] res = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            res[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            res[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                res[i][j] = res[i - 1][j] + res[i][j - 1];
            }
        }
        return res[m - 1][n - 1];
    }
}

再来是一维DP。一维DP的思路是逐行扫描。首先初始化一个长度为n的数组，并初始化第一个坐标为1（也就是坐标上0, 0的位置）。接着往右边扫描，每一个坐标的值是当前位置的DP值 + 他左边一个位置的DP值。根据下图跑一下代码，第7行，第一遍跑的时候，一开始res[j] = res[1] = 0 + res[0] = 0 + 1 = 1；接着res[2] = 0 + 1 = 1。以此类推得到第一行的dp值是[1, 1, 1, 1, 1, 1]。再遍历第二行，得到[1, 2, 3, 4, 5, 6]；第三行[1, 3, 6, 10, 15, 21]和第四行[1, 4, 10, 20, 35, 56]。这个思路非常巧妙，需要多多体会。

已经得到了[1, 2, 3, 4, 5, 6]。

时间O(mn)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] res = new int[n];
        res[0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                res[j] = res[j] + res[j - 1];
            }
        }
        return res[n - 1];
    }
}

JavaScript实现

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
    let res = new Array(n).fill(0);
    res[0] = 1;
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            res[j] = res[j] + res[j - 1];
        }
        // console.log(res);
    }
    return res[n - 1];
};

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