一元线性同余方程组

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设整系数多项式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdotcdotcdot+a_1x+a_0$
我们讨论的是是否有正数值$x$满足同余式
$f(x)equiv 0(mod\,m)$
这个方程式称为模m的同于方程式
如果$c$满足$f(c)equiv 0(mod\,m)$则称$c$为同余方程的解。
记作$xequiv c(mod\, m)$
这实际上是把同余类$c\,mod\,m$看作是满足方程的一个解。当$c_1$，$c_2$均为同余方程的解，并且对模$m$不同余的时候才把他们看做同余方程的不同解。显然，模$m$的同余方程解的个数最多有$m$个。

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一元线性同余方程

定义：
$a$，$b$是整数，$m$是正整数，形如

     $axequiv b\,(mod\, m)$

且$x$是未知数的同余式称作一元线性同余方程。

求解：
对于方程
$axequiv b\,(mod\, m)$， 可以把它写成二元一次不定式$ax+my=b$。要想方程有解，必须满足$(a,m)mid d$。 这时利用扩展欧几里得求出$ax+my=(a,m)$的一个特解，在乘上$b/(a,m)$就是我们所要的一个特解。
利用公式：

$ax_0+my_0=d=ax+myRightarrow a(x-x_0)+m(y-y_0)=0$、

$(frac{a}{(a,m)}, frac{m}{(a,m)}) = 1 $

$x = x_0-frac{m}{(a,m)}t$

这样就得到了$x$的所有解，其中最小的整数解是
$ (x\,mod\,frac{m}{(a,m)}+frac{m}{(a,m)} ) \,mod\,frac{m}{(a,m)} $

POJ 2115就是求当$a=C$，$b=B-A$，$m=2^k$的最小解

#include "iostream"
 using namespace std;
typedef long long LL;
void ext_gcd(LL a, LL b, LL &s, LL& x, LL& y) {
     LL res;
     if (!b){x = 1; y = 0; s = a;}
     else {
         ext_gcd(b, a%b, s, y, x);
         y -= x*(a/b);
     }
 }
 LL mod_line(LL a, LL b, LL m) {
     LL x, y, d;ext_gcd(a, m, d, x, y);
     if (b%d) return -1;
     LL e = x*(b/d)%(m/d) + (m/d);
     return e%(m/d);
 }
int main(int argc, char const *argv[])
 {
     LL a,b,c,d;
     while (cin >> a >> b >> c >> d) {
         if (!a&&!b&&!c&&!d) break;
         LL ans = mod_line(c, b-a, (LL)1 << d);
         if (ans == -1) cout << "FOREVER
";
         else cout << ans << endl;
     }
     return 0;
 }

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一元线性同余方程组

求解
对于含有两个方程的方程组
${egin{array}{c}
     xequiv b_1( mod\,m) \
     xequiv b_2( mod\,m) \
end{array}$
每个方程写成二元不定方程的形式
${egin{array}{c}
     x=b_1+m_1y_1 \
     x=b_2+m_2y_2 \
end{array}$
所以得到方程$m_2y_2-m_1y_1=b_1-b_2$，在对$y_2$进行求解。
因此得到小于$m$的非负正整数解为$(b_2+m_2y_2)mod\, [m_1,m_2]$
如果方程组有两个以上的话，进行两两合并求解。
POJ 2891裸的同余方程组

#include "iostream"
 #include "stdio.h"
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 void ext_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL& x, LL& y) {
     LL res;
     if (!b){x = 1; y = 0; d = a;}
     else {
         ext_gcd(b, a%b, d, y, x);
         y -= x*(a/b);
     }
 }
 LL mod_line(LL a, LL b, LL m, LL& d) {
     LL x, y; ext_gcd(a, m, d, x, y);
     if (b%d) return -1;
     LL e = x*(b/d)%(m/d) + (m/d);
     return e%(m/d);
 }
 int main(int argc, char const *argv[])
 {
     int n;
     while (scanf("%d", &n) != EOF) {
         bool flag = false;
         LL r0, r1, m0, m1;
         scanf("%I64d%I64d", &m0, &r0);  //x=r mod m
         for (int i = 1; i < n; i++) {
             LL d;
             scanf("%I64d%I64d", &m1, &r1);
             LL x0 = mod_line(m0,r1 - r0, m1, d);
             if (flag || x0 == -1) {flag = true;  continue;}
             r0 = x0*m0+r0;
             m0 = m0*(m1/d);
             r0 %= m0;
         } 
         if (flag) printf("-1
");
         else printf("%I64d
", r0);
     }
     return 0;
 }

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多元线性同余方程

定义：
形如$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+cdotcdotcdot+a_nx_n+bequiv 0(mod\,m)$的同余方程称为多元线性同余方程。
性质：
多元线性同余方程有解的充要条件是：$(a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,m)mid b$。若方程有解，则解的个数为$m^{n-1}(a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,m)$。
求解：
令$d=(a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,m),d_1=(a_1,a_2,a_3,cdots,a_{n-1},m)$那么$(d_1,a_n)=d$，所以$a_nx_n+bequiv0(mod \, d_1)$
这样把方程拆成了两部分：
1.$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+cdotcdotcdot+a_nx_n+bequiv 0(mod\,m)$
2.$a_nx_n+bequiv0(mod\, d_1)$
当且仅当1,2都成立的时候方程成立。

####参考了哈工大系列的书，做了个总结