FTT & NTT & 分治FFT

FFT

study from:

http://www.orchidany.cf/2019/02/19/FFT1/

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html

e^iθ=cosθ+isinθ

重新写了一遍……

A(x)=F(x)*G(x)

F(x),G(x),A(x)分别为n,m,n+m次多项式

对于任意x，A(x),F(x),G(x)都是一个特定的数值。

F(x),G(x)为什么可以进行系数表示法和点值表示法的互换?

因为它们是k次多项式，如使用拉格朗日插值多项式从点值表示法转换为系数表示法。

对于A(x)，同样也是如此！

为什么可以进行F(x)*G(x)点值的相乘呢？

1.无论x为多少，A(x)都等于F(x)*G(x)

2.A(x)可以用点值表示，它是n+m次多项式（感觉说了句无用的话）

那需要多少个F(x)和G(x)点值的相乘呢？

由于A(x)是n+m次多项式，则F(x),G(x)至少各需要n+m+1个点值

得到的是n+m+1个点值，然后点值表示法转系数表示法，求出A(x)这个n+m次多项式的所有系数。

关于蝴蝶操作（迭代实现）

最后的编号（一种规则）->起始

两个位置在原位置上的改动

区间1->2->4->...

P3803 【模板】多项式乘法（FFT）

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #include <string>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <iostream>
  8 using namespace std;
  9 #define ll long long
 10 
 11 const double eps=1e-8;
 12 const ll inf=1e9;
 13 const ll mod=1e9+7;
 14 const int maxn=(1e6+10)*4; ///注意乘4[(n+m)*2]
 15 const double pi=acos(-1);
 16 
 17 struct complex
 18 {
 19     double x,y;
 20     complex()
 21     {
 22     }
 23     complex(double x,double y)
 24     {
 25         this->x=x;
 26         this->y=y;
 27     }
 28     void init(double x,double y)
 29     {
 30         this->x=x;
 31         this->y=y;
 32     }
 33     complex operator+(const complex &b) const
 34     {
 35         return complex(x+b.x , y+b.y);
 36     }
 37     complex operator-(const complex &b) const
 38     {
 39         return complex(x-b.x , y-b.y);
 40     }
 41     complex operator*(const complex &b) const
 42     {
 43         return complex(x*b.x-y*b.y , x*b.y+y*b.x);
 44     }
 45 }a[maxn],b[maxn];
 46 
 47 int r[maxn],n,m,tot;
 48 
 49 void fft(complex a[maxn],int mode)
 50 {
 51     int i,j,pre_siz,cur_siz;
 52     complex temp,value,x,y;
 53     for (i=0;i<tot;i++)
 54         if (i<r[i]) ///just change one time
 55             swap(a[i],a[r[i]]);
 56 
 57     for (pre_siz=1;pre_siz<tot;pre_siz<<=1)
 58     {
 59         cur_siz=pre_siz<<1;
 60         /// 2pi/cur_siz = pi/pre_siz
 61         temp.init(cos(pi/pre_siz),mode*sin(pi/pre_siz));
 62         for (i=0;i<tot;i+=cur_siz)
 63         {
 64             value.init(1,0);
 65             for (j=0;j<pre_siz;j++,value=value*temp)
 66             {
 67                 x=a[i+j],y=value*a[i+pre_siz+j];
 68                 a[i+j]=x+y;
 69                 a[i+pre_siz+j]=x-y;
 70             }
 71         }
 72     }
 73 }
 74 
 75 int main()
 76 {
 77     int i,nm,len;
 78     scanf("%d%d",&n,&m);
 79     for (i=0;i<=n;i++)
 80         scanf("%lf",&a[i].x);
 81     for (i=0;i<=m;i++)
 82         scanf("%lf",&b[i].x);
 83 
 84     nm=n+m;
 85     tot=1,len=0;
 86     while (tot<=nm)  ///2^len not less than n+m+1
 87     {
 88         tot<<=1;
 89         len++;
 90     }
 91 
 92     ///关系 ......
 93     for (i=0;i<tot;i++)
 94         r[i]=(r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
 95 
 96     ///系数表示法转点值表示法
 97     fft(a,1);
 98     fft(b,1);
 99 
100     ///a,b点值相乘
101     for (i=0;i<tot;i++)
102         a[i]=a[i]*b[i];
103 
104     ///点值表示法转系数表示法，恰巧为......
105     fft(a,-1);
106 
107     for (i=0;i<=nm;i++) ///n+m
108         ///点值表示法转系数表示法，要除以的系数
109         printf("%lld%c",(ll)(a[i].x/tot+0.5),i==tot?'
':' ');  /// /tot
110 
111 
112     return 0;
113 }

P1919 【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #include <string>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <iostream>
  8 using namespace std;
  9 #define ll long long
 10 
 11 const double eps=1e-8;
 12 const ll inf=1e9;
 13 const ll mod=1e9+7;
 14 const int maxn=(1e6+10)*4; ///注意乘4[(n+m)*2]
 15 const double pi=acos(-1);
 16 
 17 struct complex
 18 {
 19     double x,y;
 20     complex()
 21     {
 22     }
 23     complex(double x,double y)
 24     {
 25         this->x=x;
 26         this->y=y;
 27     }
 28     void init(double x,double y)
 29     {
 30         this->x=x;
 31         this->y=y;
 32     }
 33     complex operator+(const complex &b) const
 34     {
 35         return complex(x+b.x , y+b.y);
 36     }
 37     complex operator-(const complex &b) const
 38     {
 39         return complex(x-b.x , y-b.y);
 40     }
 41     complex operator*(const complex &b) const
 42     {
 43         return complex(x*b.x-y*b.y , x*b.y+y*b.x);
 44     }
 45 }a[maxn],b[maxn];
 46 
 47 int r[maxn],n,m,tot,z[maxn];
 48 
 49 char str[maxn];
 50 
 51 void fft(complex a[maxn],int mode)
 52 {
 53     int i,j,pre_siz,cur_siz;
 54     complex temp,value,x,y;
 55     for (i=0;i<tot;i++)
 56         if (i<r[i]) ///just change one time
 57             swap(a[i],a[r[i]]);
 58 
 59     for (pre_siz=1;pre_siz<tot;pre_siz<<=1)
 60     {
 61         cur_siz=pre_siz<<1;
 62         /// 2pi/cur_siz = pi/pre_siz
 63         temp.init(cos(pi/pre_siz),mode*sin(pi/pre_siz));
 64         for (i=0;i<tot;i+=cur_siz)
 65         {
 66             value.init(1,0);
 67             for (j=0;j<pre_siz;j++,value=value*temp)
 68             {
 69                 x=a[i+j],y=value*a[i+pre_siz+j];
 70                 a[i+j]=x+y;
 71                 a[i+pre_siz+j]=x-y;
 72             }
 73         }
 74     }
 75 }
 76 
 77 int main()
 78 {
 79     int i,nm,len;
 80     scanf("%d",&n); ///输入样例有毒，n后面有空格
 81     n--;
 82 
 83     scanf("%s",str);
 84     for (i=0;i<=n;i++)
 85         a[n-i].x=str[i]-48;
 86 
 87     scanf("%s",str);
 88     for (i=0;i<=n;i++)
 89         b[n-i].x=str[i]-48;
 90 
 91     nm=n+n;
 92     tot=1,len=0;
 93     while (tot<=nm)  ///2^len not less than n+m+1
 94     {
 95         tot<<=1;
 96         len++;
 97     }
 98 
 99     ///关系 ......
100     for (i=0;i<tot;i++)
101         r[i]=(r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
102 
103     ///系数表示法转点值表示法
104     fft(a,1);
105     fft(b,1);
106 
107     ///a,b点值相乘
108     for (i=0;i<tot;i++)
109         a[i]=a[i]*b[i];
110 
111     ///点值表示法转系数表示法，恰巧为......
112     fft(a,-1);
113 
114     for (i=0;i<=nm;i++)
115     {
116         ///点值表示法转系数表示法，要除以的系数
117         z[i]+=a[i].x/tot+0.5;
118 //        printf("%d ",a[i].x/tot+0.5);
119         if (z[i]>=10)
120         {
121             z[i+1]+=z[i]/10;
122             z[i]%=10;
123         }
124         else if (z[i]<0)
125         {
126             z[i+1]+=z[i]/10-(z[i]!=0);
127             z[i]=(z[i]%10+10)%10;
128         }
129     }
130     while (z[i]>=10)
131     {
132         z[i+1]=z[i]/10;
133         z[i]%=10;
134         i++;
135     }
136 
137     ///输入的都是正整数
138     ///前导0
139     while (z[i]==0)
140         i--;
141 
142     while (i>=0)
143         printf("%d",z[i--]);
144 
145     ///也可以认为结果是a[0]+a[1]*10+a[2]*10^2+...
146 
147 
148     return 0;
149 }
150 /*
151 2
152 12
153 13
154 
155 2
156 99
157 99
158 
159 3
160 199
161 299
162 
163 
164 10
165 9789344841
166 4839019669
167 
168 
169 
170 另外的提高速度的方法：
171 压位
172 
173 结果为：
174 a[0]+a[1]*x+a[2]*x^2
175 x=10^k
176 
177 */

==================================================

NTT

https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8553155.html

百度“原根”

对于选取的P，可用的n最大的值与P中的2的系数有关

如选择998244353就优于1004535809。

如果选择框住的三个数，那么可以处理的最大的n+m为2^23=8388608。

最好模数对应的g(底数，最后一列)都相同，否则对于不同的模数，要选择不同的g。

如果题目要求除以998244353之类的满足条件的数，则可以直接用这个方法做，不用后续处理

P1919 【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）

结果小于等于

9[第一个数每一位的最大值]*9[第二个数每一位的最大值]*n[两个数的最大长度] = 4860000

可以使用取模998244353

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #include <string>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <iostream>
  8 using namespace std;
  9 #define ll long long
 10 
 11 const double eps=1e-8;
 12 const ll inf=1e9;
 13 const ll mod=998244353;
 14 const int maxn=(1e5+10)*4;
 15 
 16 ll di=3;
 17 int tot,r[maxn];
 18 ll a[maxn],b[maxn],inv_siz[100],inv_rev_siz[100],c[maxn];
 19 
 20 char str[maxn];
 21 
 22 ll mul(ll a,ll b)
 23 {
 24     ll y=1;
 25     while (b)
 26     {
 27         if (b&1)
 28             y=y*a%mod;
 29         a=a*a%mod;
 30         b>>=1;
 31     }
 32     return y;
 33 }
 34 
 35 void ntt(ll a[maxn],int mode)
 36 {
 37     int i,j,cnt_pre,cnt_cur,siz;
 38     ll x,y,sing,value;
 39     for (i=0;i<tot;i++)
 40         if (i<r[i])
 41             swap(a[i],a[r[i]]);
 42 
 43     for (cnt_pre=1,siz=1;cnt_pre<tot;cnt_pre=cnt_pre<<1,siz++)  ///
 44     {
 45         cnt_cur=cnt_pre<<1;
 46         sing=mode==1?inv_siz[siz]:inv_rev_siz[siz];
 47         for (i=0;i<tot;i+=cnt_cur)
 48         {
 49             value=1;
 50             for (j=0;j<cnt_pre;j++,value=value*sing%mod)
 51             {
 52                 x=a[i+j],y=value*a[i+j+cnt_pre]%mod;
 53                 a[i+j]=(x+y)%mod;
 54                 a[i+j+cnt_pre]=(x-y+mod)%mod;
 55             }
 56         }
 57     }
 58 }
 59 
 60 int main()
 61 {
 62     int n,m,len,nm,i,j;
 63  64 //    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
 65 //    for (i=0;i<=n;i++)
 66 //        scanf("%lld",&a[i]);
 67 //    for (i=0;i<m;i++)
 68 //        scanf("%lld",&b[i]);
 69 
 70     scanf("%d",&n);
 71     n--;
 72 
 73     scanf("%s",str);
 74     for (i=0;i<=n;i++)
 75         a[i]=str[n-i]-48;
 76 
 77     scanf("%s",str);
 78     for (i=0;i<=n;i++)
 79         b[i]=str[n-i]-48;
 80 
 81     nm=n+n;
 82     tot=1,len=0;
 83     while (tot<=nm)
 84     {
 85         tot<<=1;
 86         len++;
 87     }
 88     for (i=1;i<tot;i++)
 89         r[i]=(r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
 90     for (i=2,j=1;i<=tot;i=i<<1,j++) ///
 91     {
 92         inv_siz[j]=mul(di,(mod-1)/i);
 93         inv_rev_siz[j]=mul(di,(mod-1)-(mod-1)/i);
 94     }
 95 
 96 
 97     ntt(a,1);
 98     ntt(b,1);
 99     for (i=0;i<tot;i++)
100         a[i]=a[i]*b[i]%mod;
101     ntt(a,-1);
102     j=mul(tot,mod-2);
103     for (i=0;i<=nm;i++)
104     {
105         a[i]=a[i]*j%mod;
106 
107         c[i]+=a[i];
108         if (c[i]>=10)
109         {
110             c[i+1]+=c[i]/10;
111             c[i]%=10;
112         }
113         else if (c[i]<0)
114         {
115             c[i+1]+=c[i]/10-(c[i]!=0);
116             c[i]=(c[i]%10+10)%10;
117         }
118     }
119     while (c[i]>=10)
120     {
121         c[i+1]=c[i]/10;
122         c[i]%=10;
123         i++;
124     }
125 
126     while (c[i]==0)
127         i--;
128     while (i>=0)
129         printf("%lld",c[i--]);
130 
131 
132     return 0;
133 }
134 /*
135 1
136 8
137 9
138 
139 2
140 12
141 13
142 
143 2
144 99
145 99
146 
147 3
148 111
149 111
150 
151 3
152 999
153 102
154 
155 101898
156 */

感觉别人的代码短很多：

https://www.bbsmax.com/A/ke5jRWmO5r/

mode=-1下不同的实现方法

reverse(&a[1],&a[limit]);

P4245 【模板】任意模数NTT

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4245

https://www.cnblogs.com/Memory-of-winter/p/10223844.html

这样写的前提是取模的数之间互质，才能使用inv(模数) [inv 指的是求逆]

可以理解为k1''=k1'+g*B

x1+k1''A=x1+(k1'+g*B)*A=(x1+k1'*A)+g*A*B

======================================

max = 10^9 * 10^9 * 10^5 = 10^23

对应若干个模数的相等大于它

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #include <string>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <iostream>
  8 using namespace std;
  9 #define ll long long
 10 
 11 const double eps=1e-8;
 12 const ll inf=1e9;
 13 const int maxn=(1e5+10)*4;
 14 
 15 ll chu[3]={998244353,469762049,167772161};  ///single>10^8 all>10^24
 16 ll di=3,mod,re[3][maxn];
 17 int tot,r[maxn];
 18 ll a[maxn],b[maxn],aa[maxn],bb[maxn],inv_siz[100],inv_rev_siz[100],c[maxn];
 19 
 20 ll mul(ll a,ll b)
 21 {
 22     ll y=1;
 23     while (b)
 24     {
 25         if (b&1)
 26             y=y*a%mod;
 27         a=a*a%mod;
 28         b>>=1;
 29     }
 30     return y;
 31 }
 32 
 33 ll _mul(ll a,ll b,ll c)
 34 {
 35     ll y=1;
 36     while (b)
 37     {
 38         if (b&1)
 39             y=y*a%c;
 40         a=a*a%c;
 41         b>>=1;
 42     }
 43     return y;
 44 }
 45 
 46 void ntt(ll a[maxn],int mode)
 47 {
 48     int i,j,cnt_pre,cnt_cur,siz;
 49     ll x,y,sing,value;
 50     for (i=0;i<tot;i++)
 51         if (i<r[i])
 52             swap(a[i],a[r[i]]);
 53 
 54     for (cnt_pre=1,siz=1;cnt_pre<tot;cnt_pre=cnt_pre<<1,siz++)  ///
 55     {
 56         cnt_cur=cnt_pre<<1;
 57         sing=mode==1?inv_siz[siz]:inv_rev_siz[siz];
 58         for (i=0;i<tot;i+=cnt_cur)
 59         {
 60             value=1;
 61             for (j=0;j<cnt_pre;j++,value=value*sing%mod)
 62             {
 63                 x=a[i+j],y=value*a[i+j+cnt_pre]%mod;
 64                 a[i+j]=(x+y)%mod;
 65                 a[i+j+cnt_pre]=(x-y+mod)%mod;
 66             }
 67         }
 68     }
 69 }
 70 
 71 int main()
 72 {
 73     int n,m,len,nm,i,j,k;
 74     ll p;
 75     scanf("%d%d%lld",&n,&m,&p);
 76     for (i=0;i<=n;i++)
 77     {
 78         scanf("%lld",&aa[i]);
 79         aa[i]%=p;
 80     }
 81     for (i=0;i<=m;i++)
 82     {
 83         scanf("%lld",&bb[i]);
 84         bb[i]%=p;
 85     }
 86 
 87     nm=n+m;
 88     tot=1,len=0;
 89     while (tot<=nm)
 90     {
 91         tot<<=1;
 92         len++;
 93     }
 94     for (i=1;i<tot;i++)
 95         r[i]=(r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
 96     for (k=0;k<3;k++)
 97     {
 98         memcpy(a,aa,sizeof(aa));
 99         memcpy(b,bb,sizeof(bb));
100         ///最主要觉得一起写在ntt函数中，不好改
101 
102         mod=chu[k];
103         for (i=2,j=1;i<=tot;i=i<<1,j++) ///
104         {
105             inv_siz[j]=mul(di,(mod-1)/i);
106             inv_rev_siz[j]=mul(di,(mod-1)-(mod-1)/i);
107         }
108 
109         ntt(a,1);
110         ntt(b,1);
111         for (i=0;i<tot;i++)
112             a[i]=a[i]*b[i]%mod;
113         ntt(a,-1);
114         j=mul(tot,mod-2);
115         for (i=0;i<=nm;i++)
116             re[k][i]=a[i]*j%mod;
117 
118     }
119 
120     /**
121     取模的数之间，gcd(mod1,mod2)=1
122     **/
123     ll x1,x2,x3,x4,A,B,C,k1,k4;
124     for (j=0;j<=nm;j++)
125     {
126         x1=re[0][j],x2=re[1][j],x3=re[2][j];
127         A=chu[0],B=chu[1],C=chu[2];
128         k1=(((x2-x1)%B+B)%B)*_mul(A,B-2,B)%B;
129         x4=x1+k1*A;
130         k4=(((x3-x4)%C+C)%C)*_mul(A*B%C,C-2,C)%C;   ///(...%C+C)%C
131         printf("%lld%c",(x4%p+k4%p*A%p*B%p)%p,j==nm?'
':' '); ///k4%p, since k4>p
132         ///it is safe that x4%p
133         ///之后则是((x4-x5+D)%D)*mul(A*B%D*C%D,D-2,D)%D;
134     }
135     return 0;
136 }
137 /*
138 1 1 10001
139 1000000000 1000000000
140 1000000000 1000000000
141 
142 1 2 10001
143 1000000000 1000000000
144 1000000000 1000000000 1000000000
145 
146 5 6 1000000009
147 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000
148 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000 1000000000
149 */

看毛啸《再探快速傅里叶变换》

题目练习：

[SDOI2015]序列统计

==================================================

分治FFT

P4721 【模板】分治 FFT

https://blog.csdn.net/VictoryCzt/article/details/82939586

其实，C(x)是多算了一些内容，C(0)~C(mid-l-1)是无用的，但是没办法。

(r-mid)+(r-mid-1)+...+1 -> FFT len=大于等于r-l的最小的数，O(len*log(len))。

对于f(x) 其它数1-~x-1对f(x)的贡献，

通过cdq处理

类似的题 https://www.cnblogs.com/cmyg/p/11146038.html

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #include <string>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <iostream>
  8 using namespace std;
  9 #define ll long long
 10 
 11 const double eps=1e-8;
 12 const ll inf=1e9;
 13 const ll mod=998244353;
 14 const int maxn=(1e5+10)*4;
 15 
 16 ll f[maxn],g[maxn],a[maxn],b[maxn];
 17 ll inv_di[100],inv_rev_di[100],inv_tot[100];
 18 int tot,ind[maxn];
 19 ll di=3;
 20 
 21 ll mul(ll a,ll b)
 22 {
 23     ll y=1;
 24     while (b)
 25     {
 26         if (b&1)
 27             y=y*a%mod;
 28         a=a*a%mod;
 29         b>>=1;
 30     }
 31     return y;
 32 }
 33 
 34 void ntt(ll *a,int mode)
 35 {
 36     int i,j,cnt_pre,cnt_cur,cnt=0;
 37     ll sing,value,x,y;
 38     for (i=0;i<tot;i++)
 39         if (i<ind[i])
 40             swap(a[i],a[ind[i]]);
 41     for (cnt_pre=1,cnt=1;cnt_pre<tot;cnt_pre<<=1,cnt++)
 42     {
 43         cnt_cur=cnt_pre<<1;
 44         sing=mode==1?inv_di[cnt]:inv_rev_di[cnt];
 45         for (i=0;i<tot;i+=cnt_cur)
 46         {
 47             value=1;
 48             for (j=0;j<cnt_pre;j++,value=value*sing%mod)
 49             {
 50                 x=a[i+j],y=a[i+j+cnt_pre]*value%mod;
 51                 a[i+j]=(x+y)%mod;
 52                 a[i+j+cnt_pre]=(x-y+mod)%mod;
 53             }
 54         }
 55     }
 56 }
 57 
 58 void cdq(int l,int r)
 59 {
 60     if (l==r)
 61         return;
 62 
 63     int m=(l+r)>>1,nm,len,i;
 64     cdq(l,m);
 65 
 66     /**
 67     对于[m+1,r],
 68     [l,m]对它们的贡献
 69     C(z)=f(l+x)*g(1+y)
 70     x in [0,m-l]
 71     y in [0,r-l-1]
 72 
 73     z=x+y
 74     [m-l,r-l-1]
 75     **/
 76 
 77     tot=1,len=0;
 78     nm=(m-l)+(r-l-1);
 79     while (tot<=nm)
 80         tot<<=1,len++;
 81     for (i=1;i<tot;i++)
 82         ind[i]=(ind[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(len-1));
 83     for (i=0;i<=m-l;i++)
 84         a[i]=f[l+i];
 85     for (i=m-l+1;i<tot;i++)
 86         a[i]=0;
 87     for (i=0;i<=r-l-1;i++)
 88         b[i]=g[1+i];
 89     for (i=r-l;i<tot;i++)
 90         b[i]=0;
 91     ntt(a,1);
 92     ntt(b,1);
 93     for (i=0;i<tot;i++)
 94         a[i]=a[i]*b[i]%mod;
 95     ntt(a,-1);
 96 
 97     for (i=m-l;i<=r-l-1;i++)
 98         (f[i+l+1]+=a[i]*inv_tot[len])%=mod;
 99 
100     cdq(m+1,r);
101 }
102 
103 int main()
104 {
105     int n,i,j;
106     scanf("%d",&n);
107     for (i=1;i<n;i++)
108         scanf("%lld",&g[i]);
109     f[0]=1;
110 
111     for (i=1,j=0;i<=4e5;i<<=1,j++)
112     {
113         inv_tot[j]=mul(i,mod-2);
114         inv_di[j]=mul(di,(mod-1)/i);
115         inv_rev_di[j]=mul(di,(mod-1)-(mod-1)/i);
116     }
117 
118     cdq(0,n);   ///begin from 0
119     for (i=0;i<n;i++)
120         printf("%lld%c",f[i],i==n-1?'
':' ');
121     return 0;
122 }

快速沃尔什变换与快速莫比乌斯变换
https://www.cnblogs.com/cmyg/p/10424145.html

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原文地址：https://www.cnblogs.com/cmyg/p/11234571.html