POJ 2513 Colored Sticks （欧拉回路+并查集+字典树）

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Description

You are given a bunch of wooden sticks. Each endpoint of each stick is colored with some color. Is it possible to align the sticks in a straight line such that the colors of the endpoints that touch are of the same color?

Input

Input is a sequence of lines, each line contains two words, separated by spaces, giving the colors of the endpoints of one stick. A word is a sequence of lowercase letters no longer than 10 characters. There is no more than 250000 sticks.

Output

If the sticks can be aligned in the desired way, output a single line saying Possible, otherwise output Impossible.

Sample Input

blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan

Sample Output

Possible

分析：
大致题意：

给定一些木棒，木棒两端都涂上颜色，求是否能将木棒首尾相接，连成一条直线，要求不同木棒相接的一边必须是相同颜色的。

解题思路：

可以用图论中欧拉路的知识来解这道题，首先可以把木棒两端看成节点，把木棒看成边，这样相同的颜色就是同一个节点

问题便转化为：

给定一个图，是否存在“一笔画”经过涂中每一点，以及经过每一边一次。

这样就是求图中是否存在欧拉路Euler-Path。

回顾经典的“七桥问题”，相信很多同学马上就明白了什么是 欧拉路 了，这里不多作解释。

由图论知识可以知道，无向图存在欧拉路的充要条件为：

① 图是连通的；

② 所有节点的度为偶数，或者有且只有两个度为奇数的节点。

其中①图的连通性用程序判断比较麻烦，先放一下。

这里先说说②关于度数的判断方法：

blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan
节点的度用颜色出现次数来统计，如样例中，蓝色blue出现三次（不管是出度还是入度），那么blue结点的度就为3，同样地，我们也可以通过输入得到其他全部结点的度，于是，我们有：
Blue=3

Red=2

Violet=1

Cyan=2

Magenta=2

用一个一维数组就能记录了，然后分别 模2，就能判断颜色结点的奇偶性

只要奇度数的结点数的个数 = 1 或 >=3 ，即使①图连通，欧拉路也必不存在

但是若 奇度数的结点数的个数 为0或 ==2，那么我们继续进行①图的连通性证明：

证明①图的连通性，使用并查集MergeSet是非常高效的方法。

基本方法：

初始化所输入的n个结点为n棵树，那么就有一个n棵树的森林，此时每棵树的有唯一的结点（根），该结点的祖先就是它本身。再通过不断地输入边，得到某两个结点（集合）之间的关系，进而合并这两个结点（集合），那么这两个集合就构成一个新的集合，集合内的所有结点都有一个共同的新祖先，就是这个集合（树）的根。

最后只要枚举任意一个结点，他们都具有相同的祖先，那么就能证明图时连通的了。

但是单纯使用并查集是会超时的，因为这样会导致每次寻找某个结点的祖先时，平均都会花费O(n/2)时间，最坏情况，当n==50W时，O(n/2)大概为25ms，那么要确定50W个结点是否有共同祖先时，总费时为50W*25ms ，铁定超，不算了= =

因此必须使用并查集时必须压缩路径，前几次搜索某个结点k的祖先时，在不断通过父亲结点寻找祖先结点时，顺便把从k到最终祖先结点S中经过的所有结点的祖先都指向S，那么以后的搜索就能把时间降低到O(1)

由于并查集必须利用 数组的下标 与 存储的对象，使用int是比较方便的处理方法，但是题目的“颜色结点”是string，不方便用来使用并查集，即使用map也不行，虽然STL的map是基于hash的基础上，但并不高效，在本题中使用会超时。

为此可以使用Trie字典树，得到每个颜色单词对应的int编号id ，可以说利用Trie把string一一映射到int，是本题后续处理的关键所在。关于动态创建字典树的方法去百度，这里不多说，下面只用用一个图简单说明一下用Trie字典树标识第一个颜色单词blue：

这个题目涉及了多个基本数据结构和算法，综合性很强，非常有代表性，能够A到这题确实是受益良多。

知识考查点：

1、字典树；

2、欧拉路：其中又考察了判断是否为连通图；

3、并查集 及其优化方法（路径压缩）。

输出：

POSSIBLE： 奇度数结点个数==0 或 ==2 且 图连通

IMPOSSIBLE：奇度数结点个数==1 或 >=3 或 图不连通

PS:注意创建TrieTree链表时，C++不存在NULL，要用 0 替代 NULL

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

const int large=500000;  //25W条棒子，有50W个端点

class TrieTree_Node   //字典树结点
{
public:
    bool flag;   //标记到字典树从根到当前结点所构成的字符串是否为一个(颜色)单词
    int id;     //当前颜色(结点)的编号
    TrieTree_Node* next[27];

    TrieTree_Node()   //initial
    {
        flag=false;
        id=0;
        memset(next,0,sizeof(next));  //0 <-> NULL
    }
} root;  //字典树根节点

int color=0;  //颜色编号指针，最终为颜色总个数

int degree[large+1]= {0};  //第id个结点的总度数
int ancestor[large+1];   //第id个结点祖先

//寻找x结点的最终祖先

int find(int x)
{
    if(ancestor[x]!=x)
        ancestor[x]=find(ancestor[x]);   //路径压缩
    return ancestor[x];
}

//合并a、b两个集合

void union_set(int a,int b)
{
    int pa=find(a);
    int pb=find(b);
    if(pa!=pb)
        ancestor[pb]=pa;   //使a的祖先 作为 b的祖先
}

//利用字典树构造字符串s到编号int的映射

int hash(char *s)
{
    TrieTree_Node * p=&root;  //从TrieTree的根节点出发搜索单词(单词不存在则创建)

    int len=0;
    while(s[len]!='')
    {
        int index=s[len++]-'a';  //把小写字母a~z映射到数字的1~26，作为字典树的每一层的索引
        if(!p->next[index])  //当索引不存在时，构建索引
            p->next[index]=new TrieTree_Node;
        p=p->next[index];
    }

    if(p->flag)  //颜色单词已存在
        return p->id;  //返回其编号
    else   //否则创建单词
    {
        p->flag=true;
        p->id=++color;
        return p->id;   //返回分配给新颜色的编号
    }
}

int main(void)
{
    /*Initial the Merge-Set*/

    for(int k=1; k<=large; k++) //初始化，每个结点作为一个独立集合
        ancestor[k]=k;  //对于只有一个结点x的集合，x的祖先就是它本身

    /*Input*/

    char a[11],b[11];
    while(cin>>a>>b)
    {
        /*Creat the TrieTree*/

        int i=hash(a);
        int j=hash(b);  //得到a、b颜色的编号

        /*Get all nodes' degree*/

        degree[i]++;
        degree[j]++;   //记录a、b颜色出现的次数(总度数)

        /*Creat the Merge-Set*/

        union_set(i,j);
    }

    /*Judge the Euler-Path*/

    int s=find(1);  //若图为连通图，则s为所有结点的祖先
    //若图为非连通图，s为所有祖先中的其中一个祖先

    int num=0;  //度数为奇数的结点个数

    for(int i=1; i<=color; i++)
    {
        if(degree[i]%2==1)
            num++;

        if(num>2)   //度数为奇数的结点数大于3，欧拉路必不存在
        {
            cout<<"Impossible"<<endl;
            return 0;
        }

        if(find(i)!=s)   //存在多个祖先，图为森林，不连通
        {
            cout<<"Impossible"<<endl;
            return 0;
        }
    }

    if(num==1) //度数为奇数的结点数等于1，欧拉回路必不存在
        cout<<"Impossible"<<endl;
    else       //度数为奇数的结点数恰好等于2或不存在，存在欧回路
        cout<<"Possible"<<endl;

    return 0;
}