• 古典密码之仿射密码


    一杯敬故乡,一杯敬远方。

    算法分析

    1.仿射密码结合了移位密码和乘数密码的特点,是移位密码和乘数密码的组合。
    2.仿射密码的加密算法就是一个线性变化,即对明文字符x,对应的密文字符为y=ax+b(mod26) 其中,a, b属于Z26gcd(a,b)=1
    3.实现过程:

    • 选取a,b两个参数,其中gcd(a, 26)=1
    • 加密变换: c= a∗+b 26
      a=1时,移位密码
      b=1时,乘数密码
    • 解密变换: = (c−b)∗a^(−1) 26

    算法实现

    # 暴力破解
    la = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25]
    lb = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
          14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]
    
    # 最大公约数
    def gcd(a, b):
        while b != 0:
            tem = a % b
            a = b
            b = tem
        return a
    
    # 加密
    def encrypt(m, c, a, b):
        for i in range(len(m)):
            # 加密成相应的大写字母
            c.append(chr(((ord(m[i]) - 97) * a + b) % 26 + 65))
        d = ''.join(c)
        print(d)
    
    # 求逆元
    def niyuan(a, b):
        ny = 1
        while (a * ny) % b != 1:
            ny += 1
        return ny
    
    # 解密
    def decrypt(c, k, b):
        mw = []
        for i in range(len(c)):
            tem = ord(c[i]) - 65 - b
            if tem < 0:
                tem += 26
            mw.append(chr((k * tem) % 26 + 97))
        print("k=" + str(k) + ", b=" + str(b) + "时,解密后的明文为:")
        res = ''.join(mw)
        print(res)
    
    #实现
    if __name__ == "__main__":
        # 明文
        m = 'ifnottothesunforsmilingwarmisstillinthesuntherebutwewilllaughmoreconfidentcalmifturnedtofoundhisownshadowappropriateescapethesunwillbethroughtheheartwarmeachplacebehindthecornerifanoutstretchedpalmcannotfallbutterflythenclenchedwavingarmsgivenpowerificanthavebrightsmileitwillfacetothesunshineandsunshinesmiletogetherinfullbloom'
        # 密文
        c = []
        x, y = input("请输入a和b: ").split()
        a = int(x)
        b = int(y)
        while gcd(a, b) != 1:
            x, y = input("a和b不互素,请重新输入a和b: ").split()
            a = int(x)
            b = int(y)
        print("明文内容为:")
        print(m)
        print("加密后的密文为:")
        encrypt(m, c, a, b)
        print("知道密钥破解:")
        k = niyuan(a, 26)
        decrypt(c, k, b)
        print("不知道秘钥破解,暴力破解如下: ")
        for i in range(0, 12):
            for j in range(0, 26):
                decrypt(c, la[i], lb[j])
    
    

    加密与解密

    • 加密:输入a = 3, b = 4时,加密结果如图所示:

    • 解密:知道秘钥k = 9, b = 4 (k为a的逆元)时,解出相应明文。

    正确性

    由于算法的前提要求gcd(a,26)==1, 从而使加密函数c= a∗+b 26是一个单射函数,故其解必然是唯一的。即,gcd(a,26)==1保证了仿射加密函数是一个双射函数,故算法正确。

    安全性分析

    1.此密码算法安全性较弱。由算法的实现可知,此算法的秘钥空间大小为12*26 – 1 ==311(去除a = 1, b = 0时的情况)且a = 1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 故很容易便能够通过暴力破解获得明文。

    2.还可以通过统计分析破解:代码如下

    #统计破解仿射密码
    
    # 最大公约数
    def gcd(a, b):
        while b != 0:
            tem = a % b
            a = b
            b = tem
        return a
    
    if __name__ == "__main__":
        # a = 3, b = 4时的密文
        m = "CTRUJJUJZQGMRTUDGOCLCRWSEDOCGGJCLLCRJZQGMRJZQDQHMJSQSCLLLEMWZOUDQKURTCNQRJKELOCTJMDRQNJUTUMRNZCGUSRGZENUSEXXDUXDCEJQQGKEXQJZQGMRSCLLHQJZDUMWZJZQZQEDJSEDOQEKZXLEKQHQZCRNJZQKUDRQDCTERUMJGJDQJKZQNXELOKERRUJTELLHMJJQDTLYJZQRKLQRKZQNSEPCRWEDOGWCPQRXUSQDCTCKERJZEPQHDCWZJGOCLQCJSCLLTEKQJUJZQGMRGZCRQERNGMRGZCRQGOCLQJUWQJZQDCRTMLLHLUUO"
        # 根据统计而得出的实际各字母出现的概率
        reality = dict(a=0.082, b=0.015, c=0.028, d=0.043, e=0.127, f=0.022, g=0.02, h=0.061, i=0.07,
                       j=0.002, k=0.008, l=0.04, m=0.024, n=0.067, o=0.075, p=0.019, q=0.001, r=0.06,
                       s=0.063, t=0.091, u=0.028, v=0.01, w=0.023, x=0.001, y=0.02, z=0.001)
        # 对字典中各字母出现的概率进行降序排序
        order = dict(sorted(reality.items(), key = lambda x:x[1], reverse = True))
        print("统计中各字母出现的概率从小到大如下: ")
        print(order)
        # 统计密文中各字母出现的次数
        example = {}
        for i in m:
          example[i] = m.count(i)
        # 对字典中各字母出现的次数进行降序排序
        result = dict(sorted(example.items(), key = lambda x:x[1], reverse = True))
        print("计算得的密文中个字母的出现的次数从大到小如下: ")
        print(result)
    
        # #从结果可推测:Q由e加密而得,J由t加密而得,进行验算。
        # (a*4+b)%26==16
        # (a*19+b)%26==9
        # 从而计算出a=3,b=4
        # (a*K)%26==1,求得k=9
        # 用k=9,b=4进行解密可得出明文
        print("根据统计分析,加密所用的a, b可能为:")
        for i in range(1,26):
            for j in range(1,26):
                if (i*4+j)%26==16 and (i*19+j)%26==9:
                    if gcd(i, j)==1:
                        print("a="+str(i), "b="+str(j))
    
    

    运行结果为(此处以破解a=3, b=4时得出的密文):

    如图所示,正确解出a, b再用(a*k)%26==1,求得k=9 k=9,b=4进行解密可得出明文。
    3.还可以通过差分分析进行破解。对于仿射密码来说,“差分”是模26减法,那么,在不知道两对明密文对(M1,C1)(M2, C2)的情况下,只需要知道M1-M2C1-C2便可以确定a。因为

    C1 = aM1 + b(mod26)
    C2 = a
    M2 + b(mod26)
    易得,a = (C1 – C2)/(M1 – M2) (mod26)

    得到a 后,进一步找到b就很容易了。

    感谢阅读,如有问题,请批评指正,谢谢。
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