A. 公交线路
检查坐对方向和坐反方向两种情况对应的报站序列是否符合输入，如果都符合那就是''Unsure''，否则可以确定有没有坐反。
#include<cstdio>
const int N=15;
int n,m,S,T,i,A,B,a[N],b[N];
bool check(int d){
int i,j;
for(i=S+d,j=1;j<=m;j++,i+=d){
if(i<1||i>n)return 0;
if(a[i]!=b[j])return 0;
}
return 1;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&S,&T);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
scanf("%d",&m);
for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]);
A=check(S<T?1:-1);
B=check(S<T?-1:1);
if(A&&B)puts("Unsure");
else if(A)puts("Right");
else puts("Wrong");
}
B. 攻防演练
考虑如何判断一个字符串 $t = t_1 t_2 \ldots t_k$ 是否是 $s_{l,r} = s_l s_{l+1} \ldots s_r$ 的子序列：用一个指针从 $l$ 开始往右进行扫描，找到第一个 $t_1$ 并停下来，然后从那个位置接着往右找到第一个 $t_2$，$\dots$ 如果按这个贪心方式能找完所有 $k$ 个字符，那么 $t$ 就是 $s_{l,r}$ 的子序列；如果指针扫到了 $r+1$ 甚至更远的地方，那么说明 $t$ 不是 $s_{l,r}$ 的子序列。
现在考虑如何寻找一个最短的 $t$，使得 $t$ 不是 $s_{l,r}$ 的子序列。假设指针目前位于 $x$，$t$ 的下一个字符有 $m$ 种选项，选第 $i$ 种选项时，指针将扫到 $x$ 右边第一个字符 $i$ 的位置 $v_{x,i}$（如果不存在 $i$ 那么 $x$ 将扫到 $n + 1$）。那么为了使得指针往右扫描得尽量远，$t$ 的下一个字符应该选择 $v_{x,i}$ 最大的那个 $i$。因此，预处理出 $nxt_x$ 表示指针位于 $x$ 时，下一步将扫到哪个位置，无论询问的 $[l,r]$ 是什么，它都是一个定值，不随 $[l,r]$ 而改变。
于是问题转化为：从 $l$ 开始沿着 $nxt$ 一路往右跳，要跳多少步才能跳到 $>r$ 的地方？这是个经典问题，可以使用倍增；也可以离线询问后，将 $nxt_x$ 当作 $x$ 的父亲建出一棵有根树，在树上进行二分查找。
时间复杂度 $O(nm+q\log n)$。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=200005;
const int MAXD=18;
char str[MAXN];
int go[MAXD][MAXN];
int main()
{
int n,m,q;
scanf("%d%d%s%d",&m,&n,str+1,&q);
vector<int> nxt(m,n+1);
go[0][n+1]=n+1;
for(int i=n;i>=0;i--)
{
for(int j=0;j<m;j++)
go[0][i]=max(go[0][i],nxt[j]);
if(i)nxt[str[i]-'a']=i;
}
for(int i=1;i<MAXD;i++)
for(int j=0;j<=n+1;j++)
go[i][j]=go[i-1][go[i-1][j]];
for(int i=0;i<q;i++)
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
int t=l-1,res=0;
for(int d=MAXD-1;d>=0;d--)
if(go[d][t]<=r)t=go[d][t],res+=(1<<d);
printf("%d\n",res+1);
}
return 0;
}
C. 连锁商店
如果某家公司开的连锁店数量不超过 $1$，那么可以无视``每家公司的红包只能领一份''这个限制，这是因为任何一条路线都无法访问多次该公司开的商店。如果某家公司开的连锁店数量至少为 $2$，那么这样的公司数最多为 $\frac{n}{2}\leq 18$。
由于第二类公司数量并不多，因此可以使用状态压缩动态规划来求解这个问题。设 $f[i][S]$ 表示从 $1$ 出发到达了 $i$ 点，一路上访问过的第二类公司集合为 $S$ 时，访问过的第一类公司的红包总价值最大是多少，枚举下一个景点进行转移。
时间复杂度 $O(n^22^{\frac{n}{2}})$。
#include<cstdio>
const int N=40,M=18;
int n,m,cnt,i,j,tmp,x,y,col[N],ap[N],w[N],id[N],g[N][N],f[N][(1<<M)+1],s[(1<<M)+1];
inline void up(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&col[i]),ap[col[i]]++;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&w[i]);
if(ap[i]>=2)id[i]=cnt++;else id[i]=-1;
}
while(m--)scanf("%d%d",&x,&y),g[x][y]=1;
for(i=1;i<=n;i++)for(j=0;j<1<<cnt;j++)f[i][j]=-1;
if(~id[col[1]])f[1][1<<id[col[1]]]=0;else f[1][0]=w[col[1]];
for(i=1;i<n;i++)for(j=0;j<1<<cnt;j++)if(~f[i][j]){
tmp=f[i][j];
for(x=i+1;x<=n;x++)if(g[i][x]){
if(~id[col[x]])up(f[x][j|(1<<id[col[x]])],tmp);
else up(f[x][j],tmp+w[col[x]]);
}
}
for(i=1;i<1<<cnt;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(~id[j])if(i>>id[j]&1)s[i]+=w[j];
for(i=1;i<=n;i++){
tmp=0;
for(j=0;j<1<<cnt;j++)if(~f[i][j])up(tmp,f[i][j]+s[j]);
printf("%d\n",tmp);
}
}
D. 修建道路
不妨设整个序列的最大值位于 $a_x$（若有多个最大值则取最小的 $x$），那么两端点都在 $[1,x-1]$ 或都在 $[x+1,n]$ 的边的边权不会超过 $a_x$，而横跨 $x$ 的边的边权都是 $a_x$，因此最优方案一定是左右两部分都分别连成一个连通块后，再和 $x$ 相连。
于是对于每个 $x$ 计算它需要连多少条边：如果 $a_{x-1}<a_x$，那么左边对应的连通块要和 $x$ 连一条边；如果 $a_{x+1}\leq a_x$，那么右边对应的连通块要和 $x$ 连一条边。因此：\[ans=\sum_{i=1}^{n-1}\max(a_i,a_{i+1})\]
#include<cstdio>
int n,i,a[200005];long long ans;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(i=2;i<=n;i++)ans+=a[i]>a[i-1]?a[i]:a[i-1];
printf("%lld",ans);
}
E. 被遗忘的计划
令每件商品的价值最大值为 $t$，那么选取 $k$ 件商品的价值最大值不超过 $k\times t$；另一方面，我们总可以把 $t$ 对应的商品重复选取 $k$ 次来得到 $k\times t$，因此数组 $f$ 的最大值一定对应 $k\times t$，于是我们得到了 $k$ 的唯一可能取值：即两个数组最大值的商。
得到 $k$ 的唯一可能取值后，使用快速幂求出 $v$ 数组的循环卷积的 $k$ 次幂，判断是否等于 $f$ 数组即可。
时间复杂度 $O(n^2\log k)$。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1005;
const ll inf=1LL<<60;
int n,i;ll x,y,k,a[N],f[N],g[N],h[N<<1];
void NO(){
puts("-1");
exit(0);
}
inline void up(ll&a,ll b){if(a<b)a=b;}
void mul(ll a[],ll b[],ll f[]){
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)h[i]=h[i+n]=-inf;
for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)up(h[i+j],a[i]+b[j]);
for(i=0;i<n;i++)f[i]=max(h[i],h[i+n]);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i%n]);
for(i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
x=y=-inf;
for(i=0;i<n;i++){
x=max(x,a[i]);
y=max(y,f[i]);
}
if(y%x)NO();
y/=x;
if(y<1||y>1000000000)NO();
for(i=0;i<n;i++)g[i]=a[i];
for(k=y-1;k;k>>=1,mul(a,a,a))if(k&1)mul(g,a,g);
for(i=0;i<n;i++)if(g[i]!=f[i])NO();
printf("%lld",y);
}
F. 地图压缩
不难发现行与列是两个独立的问题，因此只需要求出行的最短循环节的长度，再求出列的最短循环节的长度，相乘就是答案。
以行为例，首先通过 Hash 将问题转化为一维问题。一维问题则是经典问题，对于一个长度为 $n$ 的字符串，长度为 $d$ 的前缀是循环节当且仅当长度为 $n-d$ 的前后缀相等，因此需要找到这个字符串最长的前缀，满足该前缀也是该字符串的后缀。可以枚举所有可能的 $d$ 然后使用 Hash $O(1)$ 判断；也可以使用 KMP 算法求出 $nxt$ 数组，答案即为 $n-nxt[n]$。
时间复杂度 $O(n^2+qn)$。
#include<cstdio>
typedef unsigned long long ull;
const int N=2005,S=10007;
int n,q,cnt,i,j,xl,xr,yl,yr,nxt[N];
char a[N][N];
ull p[N],f[N][N],g[N][N],w[N];
inline int cal(){
int i,j=0;
for(i=2;i<=cnt;i++){
while(j&&w[j+1]!=w[i])j=nxt[j];
if(w[j+1]==w[i])j++;
nxt[i]=j;
}
return cnt-j;
}
inline int calx(){
ull base=p[yr-yl+1];
cnt=0;
for(int i=xl;i<=xr;i++)w[++cnt]=g[i][yr]-g[i][yl-1]*base;
return cal();
}
inline int caly(){
ull base=p[xr-xl+1];
cnt=0;
for(int i=yl;i<=yr;i++)w[++cnt]=f[xr][i]-f[xl-1][i]*base;
return cal();
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&q);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%s",a[i]+1);
for(p[0]=i=1;i<=n;i++)p[i]=p[i-1]*S;
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){
f[i][j]=f[i-1][j]*S+a[i][j];
g[i][j]=g[i][j-1]*S+a[i][j];
}
while(q--){
scanf("%d%d%d%d",&xl,&yl,&xr,&yr);
printf("%d\n",calx()*caly());
}
}
G. 3G网络
当 $r \rightarrow +\infty$ 时，$n$ 个圆的并趋近于一个半径为 $r$ 的圆，因此答案为 $\frac{1}{n}$。
#include<cstdio>
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%.15f",1.0/n);
}
H. 4G网络
对于每个询问，我们要求的是这 $n$ 个半径为 $r$ 的圆的面积之并（除以它们的总面积 $n\pi r^2$）。
根据微积分的概念，一个区域的面积等价于区域中每个微元累加的结果。注意到所有圆的半径都相等，对于平面中的每个点，它属于圆并当且仅当存在一个圆的圆心到它的距离不超过 $r$。因此对于每个点，我们将其放在离它最近的圆心处考虑，如果离它最近的圆心到它的距离不超过 $r$，那么它需要被计入答案。
枚举每个圆心，找到在 $[-inf,inf]\times[-inf,inf]$ 这个矩形里它作为最近点的管辖区域，容易发现是一个凸多边形，如上图所示。枚举每个圆心，再枚举另一个圆心，可行区域是它们的垂直平分线的一侧，可以使用半平面交在 $O(n^2\log n)$ 时间内预处理出所有 $n$ 个凸多边形，即 Voronoi 图。根据 Voronoi 图的性质，所有凸多边形的边数之和为 $O(n)$。
对于每个询问，枚举一个圆心 $O$，再枚举它管辖区域的凸多边形的一条边 $(A,B)$，那么对答案的贡献为三角形 $OAB$ 与圆 $O$ 的交，可以 $O(1)$ 计算得到。
时间复杂度$O(n^2\log n+qn)$。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double ld;
const int N=2015;
const ld eps=1e-7,inf=30010,pi=acos(-1.0);
int n,m,i,j,radius,cl,d[N];
inline int sgn(ld x){
if(x<-eps)return -1;
if(x>eps)return 1;
return 0;
}
inline bool Quadratic(ld A,ld B,ld C,ld*t0,ld*t1){
ld discrim=B*B-4.f*A*C;
if(discrim<0.)return 0;
ld rootDiscrim=sqrt(discrim);
ld q;
if(B<0)q=-.5f*(B-rootDiscrim);
else q=-.5f*(B+rootDiscrim);
*t0=q/A;*t1=C/q;
if(*t0>*t1)swap(*t0,*t1);
return 1;
}
struct P{
ld x,y;
P(){x=y=0;}
P(ld _x,ld _y){x=_x,y=_y;}
P operator+(const P&b)const{return P(x+b.x,y+b.y);}
P operator-(const P&b)const{return P(x-b.x,y-b.y);}
P operator*(ld b)const{return P(x*b,y*b);}
P operator/(ld b)const{return P(x/b,y/b);}
ld operator*(const P&b)const{return x*b.x+y*b.y;}
ld len(){return hypot(x,y);}
ld len_sqr(){return x*x+y*y;}
void read(){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
x=a,y=b;
}
}a[N],pool[N][N],p[N];
inline ld cross(const P&a,const P&b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
struct Line{
P p,v;ld a;
Line(){}
Line(const P&_p,const P&_v){p=_p,v=_v;}
bool operator<(const Line&b)const{return a<b.a;}
void cal(){a=atan2(v.y,v.x);}
}line[N],q[N];
inline bool left(const P&p,const Line&l){return cross(l.v,p-l.p)>eps;}
inline P pos(const Line&a,const Line&b){
P x=a.p-b.p;ld t=cross(b.v,x)/cross(a.v,b.v);
return a.p+a.v*t;
}
inline void halfplane(P*pool,int&n){
int i,h=1,t=1;
for(i=1;i<=cl;i++)line[i].cal();
sort(line+1,line+cl+1);
q[1]=line[1];
for(i=2;i<=cl;i++){
while(h<t&&!left(p[t-1],line[i]))t--;
while(h<t&&!left(p[h],line[i]))h++;
if(fabs(cross(q[t].v,line[i].v))<eps)q[t]=left(q[t].p,line[i])?q[t]:line[i];
else q[++t]=line[i];
if(h<t)p[t-1]=pos(q[t],q[t-1]);
}
while(h<t&&!left(p[t-1],q[h]))t--;
p[t]=pos(q[t],q[h]);
n=0;
for(i=h;i<=t;i++)pool[n++]=p[i];
}
inline ld get_angle(const P&a,const P&b){return fabs(atan2(fabs(cross(a,b)),a*b));}
inline P lerp(const P&a,const P&b,ld t){return a*(1-t)+b*t;}
inline bool circle_line_intersection(const P&c,const P&a,const P&b,ld*t0,ld*t1){
P d=b-a;ld A=d*d;
ld B=d*(a-c)*2.0;
ld C=(a-c).len_sqr()-radius;
return Quadratic(A,B,C,t0,t1);
}
inline ld circle_triangle_intersection_area(const P&c,const P&a,const P&b){
if(sgn(cross(a-c,b-c))==0)return 0;
static P q[5];int len=0;ld t0,t1;q[len++]=a;
if(circle_line_intersection(c,a,b,&t0,&t1)){
if(0<=t0&&t0<=1)q[len++]=lerp(a,b,t0);
if(0<=t1&&t1<=1)q[len++]=lerp(a,b,t1);
}
q[len++]=b;ld s=0;
for(int i=1;i<len;i++){
P z=(q[i-1]+q[i])/2;
if((z-c).len_sqr()<=radius)
s+=fabs(cross(q[i-1]-c,q[i]-c))/2;
else
s+=radius*get_angle(q[i-1]-c,q[i]-c)/2;
}
return s;
}
inline ld circle_polygon_intersection_area(const P&c,P*v,int n){
ld s=0;
for(int i=0;i<n;i++){
int j=(i+1)%n;
s+=circle_triangle_intersection_area(c,v[i],v[j])*sgn(cross(v[i]-c,v[j]-c));
}
return fabs(s);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)a[i].read();
for(i=0;i<n;i++){
line[1]=Line(P(inf,0),P(0,1));
line[2]=Line(P(-inf,0),P(0,-1));
line[3]=Line(P(0,inf),P(-1,0));
line[4]=Line(P(0,-inf),P(1,0));
cl=4;
for(j=0;j<n;j++)if(j!=i){
P t=a[j]-a[i];
swap(t.x,t.y);
t.x*=-1;
line[++cl]=Line((a[i]+a[j])/2,t);
}
halfplane(pool[i],d[i]);
}
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%d",&radius);
radius*=radius;
ld up=0,down=(pi*radius)*n;
for(i=0;i<n;i++)up+=circle_polygon_intersection_area(a[i],pool[i],d[i]);
up/=down;
printf("%.15f\n",(double)up);
}
}
I. 驾驶卡丁车
按照题意逐指令逐步模拟即可。
#include<cstdio>
const int N=55,M=505;
const int dx[8]={-1,-1,-1,0,1,1,1,0},dy[8]={-1,0,1,1,1,0,-1,-1};
int n,m,i,j,cnt,X,Y,D,V;
char a[N][N],op[M];
inline bool check(int x,int y,int nx,int ny){
if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m)return 0;
if(a[nx][ny]=='#')return 0;
if(x==nx||y==ny)return 1;
if(a[x][ny]=='#'&&a[nx][y]=='#')return 0;
return 1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%s",a[i]+1);
scanf("%d%s",&cnt,op+1);
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)if(a[i][j]=='*')X=i,Y=j;
D=1;
V=0;
for(i=1;i<=cnt;i++){
if(op[i]=='L')D=(D-1+8)%8;
else if(op[i]=='R')D=(D+1)%8;
else if(op[i]=='U')V++;
else if(V)V--;
for(j=1;j<=V;j++){
if(!check(X,Y,X+dx[D],Y+dy[D])){
printf("Crash! ");
V=0;
break;
}
X+=dx[D],Y+=dy[D];
}
printf("%d %d\n",X,Y);
}
}
J. 最大权边独立集
枚举位于最终边独立集上的加入的边权为 $p$ 的边的数量 $t$，那么 $0\leq t\leq k$ 且 $2t\leq n$，这是因为每条边将占据图中的两个点。
假设最终要加入 $t$ 条边，那么需要从图中删去 $2t$ 个点，然后用 $t\times p\ +$ 剩下图的最大权边独立集来更新答案，这等价于在树上规定 $2t$ 个点不匹配其它点，然后计算树的带权最大匹配。
使用自底向上的树形动态规划来解决这个问题：设 $f[i][j][0]$ 表示考虑了 $i$ 点的子树，$i$ 点的子树内删掉了 $j$ 个点，且 $i$ 不能往上匹配 $i$ 的父亲时的带权最大匹配；设 $f[i][j][1]$ 表示考虑了 $i$ 点的子树，$i$ 点的子树内删掉了 $j$ 个点，且 $i$ 能够往上匹配 $i$ 的父亲时的带权最大匹配。那么状态数为 $O(nk)$，在转移时需要合并两棵子树的信息，$j$ 这一维从 $0$ 开始枚举到 $\min(size_x,k)$ 即可保证时间复杂度为 $O(nk)$，其中 $size_x$ 表示 $x$ 目前的子树大小。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rep(i,n) for(int i=0;i<=n;i++)
typedef long long ll;
const int N=100005,M=102;
int n,m,p,i,x,y,z,g[N<<1],v[N<<1],w[N<<1],nxt[N<<1],ed;
int size[N];ll f[N][M*2][2],h[M*2][2],ans;
inline void add(int x,int y,int z){v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}
inline void up(ll&a,ll b){if(a<b)a=b;}
void dfs(int x,int y){
rep(j,1)rep(k,1)f[x][j][k]=-1;
f[x][0][1]=f[x][1][0]=0;
size[x]=1;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i]){
int u=v[i];
if(u==y)continue;
dfs(u,x);
int A=size[x],B=size[u],C=A+B,W=w[i];
A=min(A,m),B=min(B,m),C=min(C,m);
size[x]+=size[u];
rep(j,C)rep(k,1)h[j][k]=-1;
rep(j,A)rep(k,1)if(~f[x][j][k]){
ll F=f[x][j][k];
for(int J=0;J<=B&&j+J<=m;J++)rep(K,1)if(~f[u][J][K]){
up(h[j+J][k],F+f[u][J][K]);
if(k&&K)up(h[j+J][0],F+W+f[u][J][K]);
}
}
rep(j,C)rep(k,1)f[x][j][k]=h[j][k];
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
m*=2;
for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
dfs(1,0);
for(i=0;i<=m&&i<=n;i+=2)rep(j,1){
ll tmp=f[1][i][j];
if(tmp<0)continue;
up(ans,tmp+1LL*(i/2)*p);
}
printf("%lld",ans);
}
K. 音乐游戏
根据输入数据的合法性，问题等价于统计输入的所有字符串中''-''的个数。一个简单的实现方式是：while(~scanf("%s",s)) 统计 $s$ 中''-''的个数。
#include<cstdio>
int i,ans;char s[99];
int main(){
while(~scanf("%s",s))for(i=0;s[i];i++)if(s[i]=='-')ans++;
printf("%d",ans);
}